Hình vẽ:
1) Ta có EF là đường trung bình của ΔBCH nên \(2\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{CB}\)
Mặt khác: \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}=2\overrightarrow{GA}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{EF}=\overrightarrow{GA}\)
A (x; y) ta có: \(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{GA}\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-1=0 \\y-5=-4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow A(1;1)\)
2) Do EF // BC, AH ⊥ BC nên EF ⊥AB,
Từ giả thiết ta có: BH ⊥AC
=>E là trực tâm của ΔABE. Khi đó B là giao điểm của đường thẳng BH với đường thẳng đi qua A vuông góc với EF.
Ta có: \(\overrightarrow{EF}(0;-4)\) nên đường thẳng đi qua A vuông góc với EF có phương trình:
\(0(x-1)-4(y-1)=0\)
\(\Leftrightarrow y=1\)
Phương trình đường thẳng BH vuông góc với AE là:
\(\frac{12}{5}(x-\frac{17}{5})+\frac{24}{5}(y-\frac{9}{5})=0\)
\(\Leftrightarrow x+3y-7=0\)
Vậy tọa độ điểm B là nghiệm của hệ PT:
\(\left\{\begin{matrix}y=1 \\x+2y-7=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow B(5;1)\)
Gọi O (x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABE; kẻ đường kính EK.
Ta có tứ giác AKBF là hình bình hành, khi đó 2 đường chéo KF và AB cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Ta có I (3; 1)
Mặt khác O là trung điểm của EK, suy ra IO là đường trung bình của ΔEFK
Hay \(\overrightarrow{OI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{EF}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3-x=0 \\1-y=-2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 0(3;3)\)
Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABE là O (3; 3)
