Đáp án:
a) x $\neq$ 3; x $\neq$ -1
b) B = `frac{x² + x - 2}{x² + x + 2}`
c) `B_{min}` = `-9/7` với x = -`1/2`
d) `x ∈ {0; 1; -2}`
Giải thích các bước giải:
a) ĐKXĐ: x $\neq$ 3; x $\neq$ -1
b) A = [`frac{x}{x - 3}` - `frac{x + 3}{(x - 3)(3x + 3)}` + `frac{1}{3x + 3}`].`frac{x² - 2x - 3}{x² + x + 2}`
= `frac{x(3x + 3) - x - 3 + x - 3}{(3x + 3)(x - 3)}`. `frac{(x - 3)(x + 1)}{x² + x + 2}`
= `frac{3(x² + x - 2)}{3(x + 1)(x - 3)}`. `frac{(x - 3)(x + 1)}{x² + x + 2}`
= `frac{x² + x - 2}{x² + x + 2}`
c) Xét
`frac{x² + x - 2}{x² + x + 2}` - 1
= `frac{x² + x - 2 - (x² + x + 2)}{x² + x + 2}`
= `frac{x² + x - 2 - x² - x - 2}{x² + x + 2}`
= `frac{-4}{x² + x + 2}`
Vì: -4 < 0
Mà: x² + x + 2 > 0 với x $\neq$ 3; x $\neq$ -1
⇒ `frac{-4}{x² + x + 2}` < 0
⇒ `frac{x² + x - 2}{x² + x + 2}` < 1
d) `frac{x² + x - 2}{x² + x + 2}`
= `frac{x² + x + 2 - 4}{x² + x + 2}`
= `frac{x² + x + 2}{x² + x + 2}` - `frac{4}{x² + 2.\frac{1}{2}x + \frac{1}{4} + \frac{7}{4}}`
= 1 - `frac{4}{(x + \frac{1}{2})² + \frac{7}{4}}`
Ta có:
(x + `1/2`)² ≥ 0 với ∀ x ∈ R
⇒ (x + `1/2`)² + `7/4` ≥ `7/4` với ∀ x ∈ R
⇒ `frac{4}{(x + \frac{1}{2})² + \frac{7}{4}}` ≥ `16/7` với ∀ x ∈ R
⇒ `frac{-4}{(x + \frac{1}{2})² + \frac{7}{4}}` ≤ `-16/7` với ∀ x ∈ R
⇒ 1 + `frac{-4}{(x + \frac{1}{2})² + \frac{7}{4}}` ≤ `-9/7` với ∀ x ∈ R
⇒ A ≤ `-9/7` với ∀ x ∈ R
Dấu "=" xảy ra
⇔ x + `1/2` = 0
⇔ x = `1/2`
e) Để B nguyên
`⇔ 1 +` `frac{-4}{x² + x + 2}` nguyên
`⇔ -4 `chia hết cho `x² + x + 2 `
`⇔ x² + x + 2 ∈ Ư (4)`
Mà: `Ư (4) = {±1; ±2; ±4}`
`⇒ x² + x + 2 ∈ {±1; ±2; ±4}`
`⇒ x ∈ {0; 1; -2}`
