Đáp án đúng: B
Giải chi tiết:a) +) Với \(p = 2\)
\( \Rightarrow p + 2 = 2 + 2 = 4\) (loại vì 4 là hợp số)
\(p + 4 = 2 + 4 = 6\) (loại vì 6 là hợp số)
+) Với \(p = 3\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow p + 2 = 3 + 2 = 5\,\,\,\left( {tm} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,p + 4 = 3 + 4 = 7\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
+) Với \(p > 3 \Rightarrow p\) có dạng: \(p = 3k + 1;p = 3k + 2\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)
- Với \(p = 3k + 1\,\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)
\( \Rightarrow p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3\left( {k + 1} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\)
\( \Rightarrow p + 2\) là hợp số (loại)
- Với \(p = 3k + 2\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)
\( \Rightarrow p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3\left( {k + 2} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\)
\(p + 4\) là hợp số (loại)
Vậy \(p = 3.\)
b) Số nguyên tố lớn hơn \(3\) sẽ có dạng: \(3k + 1;\,\,\,3k + 2\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)
+) Nếu \(p = 3k + 1 \Rightarrow p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3\left( {k + 1} \right)\) là số nguyên tố (Vô lý vì \(3\left( {k + 1} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\) nên là hợp số)
\( \Rightarrow p = 3k + 1\) loại.
\( \Rightarrow \) p phải có dạng \(3k + 2\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) (Thật vậy, \(p + 2 = 3k + 2 + 2 = 3k + 4 = 3\left( {k + 1} \right) + 1\) là số nguyên tố)
\( \Rightarrow p + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3 = 3\left( {k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3\)
Mặt khác: p là 1 số nguyên tố lớn hơn 3 cũng như lớn hơn 2 nên p phải là 1 số nguyên tố lẻ
\( \Rightarrow p + 1\) là một số chẵn.
\( \Rightarrow p + 1\,\, \vdots \,\,2\)
Mà \(\left( {3;2} \right) = 1 \Rightarrow p + 1 \vdots 6\) (Đpcm)
Chọn B.
