Đáp án:
$a)\quad y = x^2.e^{-x^2} + C.e^{-x^2}$
$b)\quad y = C_1e^x + C_2e^{-2x} + \dfrac14xe^{2x} - \dfrac{1}{16}e^{2x}$
Giải thích các bước giải:
$a)\quad y' + 2xy = 2x.e^{-x}\qquad (*)$
Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:
$\quad y = C.e^{\displaystyle\int-2xdx}$
$\Leftrightarrow y = C.e^{-x^2}$
Do đó nghiệm của $(*)$ có dạng:
$\quad y = C(x).e^{-x^2}$
$\Rightarrow y' = C'(x).e^{-x^2} - 2xC(x).e^{-x^2}$
Thay vào $(*)$ ta được:
$\quad C'(x).e^{-x^2} - 2xC(x).e^{-x^2} + 2xC(x).e^{-x^2} = 2x.e^{-x^2}$
$\Leftrightarrow C'(x)= 2x$
$\Leftrightarrow C(x)= x^2 + C$
Vậy nghiệm của phương trình là: $y = x^2.e^{-x^2} + C.e^{-x^2}$
$b)\quad y'' + y' - 2y = (x+1).e^{2x}\qquad (**)$
Xét phương trình đặc trưng:
$k^2 + k - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}k = 1\\k= - 2\end{array}\right.$
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:
$\quad y = C_1e^x + C_2e^{-2x}$
Ta có: $f(x)= e^{2x}(x+1)$
Với $\gamma = 2$ không là nghiệm của phương trình đặc trưng
Do đó nghiệm riêng của $(**)$ có dạng:
$\quad y = e^{2x}(Ax + B)$
$\Rightarrow y' = 2e^{2x}(Ax + B) + A.e^{2x}$
$\Rightarrow y'' = 4e^{2x}(Ax + B) + 4A.e^{2x}$
Thay vào $(**)$ ta được:
$\quad 4e^{2x}(Ax + B) + 5A.e^{2x} = e^{2x}(x+1)$
$\Leftrightarrow 4Ax + 5A + 4B = x + 1$
Đồng nhất hai vế, ta được:
$\begin{cases}4A = 1\\5A + 4B = 1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}A = \dfrac14\\B = -\dfrac{1}{16}\end{cases}$
Vậy nghiệm của phương trình là:
$y = C_1e^x + C_2e^{-2x} + \dfrac14xe^{2x} - \dfrac{1}{16}e^{2x}$
