Đáp án+Giải thích các bước giải:
`a)` Xét `ΔAMB` và `ΔEMC` có:
`\hat{BAM}=\hat{MEC}(=90^o)`
`\hat{BMA}=\hat{EMC}`(đối đỉnh)
`=> ΔAMB` $\backsim$ `ΔEMC(g.g)(1)`
`b) ΔABC` vuông tại `A`
`=> BC^2=AB^2+AC^2`(Định lí `Pytago)`
hay `5^2 = 3^2+AC^2`
`=> AC = \sqrt{5^2-3^2}=4(cm)`
`ΔABC` có `BM` là tian phân giác của `\hat{ABC}`
`=> (AM)/(AB)=(CM)/(BC)` hay `{AM)/3 = (CM)/5`
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
`(AM)/3 = (CM)/5 = (AM+CM)/(3+5)=(AC)/8=4/8=1/2`
`=> AM = 3 . 1/2 = 1,5(cm)`
`c)` Từ `(1) => \hat{ABM}=\hat{ECM}`
mà `\hat{ABM}=\hat{EBC}`
`=> \hat{EBC}=\hat{ECM}`
Xét `ΔECM` và `ΔEBC` có:
`\hat{BEC}` chung
`\hat{EBC}=\hat{ECM}`
`=> ΔECM` $\backsim$ `ΔEBC(g.g)`
`=> (EC)/(EB)=(EM)/(EC)`
`=> EC^2=EB.EM`
`d)` Gọi giao điểm của `IM` và `BC` là `O`
`ΔBIC` có: `BE` là đường cao ứng với cạnh `IC`
`CA` là đường cao ứng với cạnh `BI`
mà `BE` cắt `CA` tại `M`
`=> M` là trực tâm của `ΔBIC`
mà `M∈IO`
`=> IO` là đường cao ứng với cạnh `BC`
`=> IO bot BC`
Xét `ΔBEC` và `ΔIOC` có:
`\hat{OCI}` chung
`\hat{BEC}=\hat{IOC}(=90^o)`
`=> ΔBEC` $\backsim$ `ΔIOC(g.g)`
`=> (BC)/(CI)=(CE)/(OC)`
`=> CE.CI=BC.OC`
Xét `ΔBAC` và `ΔBOI` có:
`\hat{IBC}` chung
`\hat{BAC}=\hat{IOB}(=90^o)`
`=> ΔBAC` $\backsim$ `ΔBOI(g.g)`
`=> (BC)/(BI)=(BA)/(OB)`
`=> BI.BA=BC.OB`
Ta có: `CE.CI+ BI.BA=BC.OC+BC.OB`
`=BC.(OC+OB)`
`=BC.BC`
`=BC^2`
