ĐK: $x\ge 0,x\ne 4$
$\dfrac{x}{\sqrt x+2}\\=\dfrac{x+4\sqrt x+4-4\sqrt x-8+4}{\sqrt x+2}\\=\dfrac{(x+4\sqrt x+4)-(4\sqrt x+8)+4}{\sqrt x+2}\\=\dfrac{(\sqrt x+2)^2-4(\sqrt x+2)+4}{\sqrt x+2}\\=\sqrt x+2-4+\dfrac{4}{\sqrt x+2}\\=\sqrt x-2+\dfrac{4}{\sqrt x+2}$
Để $x\in\Bbb Z$, $P\in\Bbb Z$ thì $x$ phải là số chính phương và $\sqrt x+2\in Ư(4)=\{\pm 1;\pm 2;\pm4\}$
Ta có: $\sqrt x\ge 0↔\sqrt x+2\ge 2>0$
mà $\sqrt x +2∈\{\pm 1;\pm2;\pm4\}$
$→\sqrt x+2\in\{2;4\}$
Với $\sqrt x+2=2$
$↔\sqrt x=0\\↔x=0$
mà $x\in\Bbb Z,x\ge 0,x\ne 4$ và $x$ là số chính phương
$→x=(TM)$
Với $\sqrt x+2=4$
$↔\sqrt x=2\\↔x=4$
mà $x\in\Bbb Z,x\ge 0,x\ne 4$ và $x$ là số chính phương
$→x=4(KTM)$
Vậy $x=0$
