`1`. Xét tứ giác `CEHD` ta có:
`hat{CEH}` `= 90^0` (Vì `BE` là đường cao)
`hat{CDH}` `= 90^0` (Vì `AD` là đường cao)
=> `hat{CEH}` `+` `hat{CDH}` `= 180^0`
Mà `hat{CEH}` và `hat{CDH}` là hai góc đối của tứ giác `CEHD.`
Do đó `CEHD` là tứ giác nội tiếp
`2`. Theo giả thiết: BE là đường cao `=> BE ┴ AC => `hat{BEA}` `= 90^0.`
`AD` là đường cao `=> AD ┴ BC =>` `hat{BDA}` `= 90^0`.
Như vậy `E` và `D` cùng nhìn `AB` dưới một góc `90^0` `=> E` và `D` cùng nằm trên đường tròn đường kính `AB`.
Vậy bốn điểm `A, E, D, B` cùng nằm trên một đường tròn.
`3`. Theo giả thiết tam giác `ABC` cân tại `A` có `AD` là đường cao nên cũng là đường trung tuyến
`=> D` là trung điểm của `BC.` Theo trên ta có `hat{BEC}` `= 90^0`.
Vậy tam giác `BEC` vuông tại `E` có `ED` là trung tuyến `=> DE = 1/2 BC.`
`4`. Vì `O` là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác `AHE` nên `O` là trung điểm của `AH => OA = OE` `=>` tam giác `AOE` cân tại `O =>` góc $E_{1}$ `=` góc $A_{1}$ `(1)`.
Theo trên `DE = 1/2 BC =>` tam giác `DBE` cân tại `D =>` góc $E_{3}$ `=` góc $B_{1}$ `(2)`
Mà góc $B_{1}$ `=` góc $A_{1}$ (vì cùng phụ với góc `ACB`) `=>` góc $E_{1}$ `=` góc $E_{3}$ `=>` góc $E_{1}$ `+` góc $E_{2}$ `=` góc $E_{2}$ + góc $E_{3}$
Mà góc $E_{1}$ `+` góc $E_{2}$ `=` `hat{BEA}` `= 90^0 =>` góc $E_{2}$ `+` góc $E_{3}$ `= 90^0 =` `hat{OED} `=> DE ┴ OE` tại `E`.
Vậy `DE` là tiếp tuyến của đường tròn `(O)` tại `E`
`5` Theo giả thiết:
`AH = 6 cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm`.
Áp dụng định lí Pitago cho tam giác `OED` vuông tại `E` ta có:
`ED^2 = OD^2 – OE^2 ↔ ED^2 = 5^2 – 3^2 ↔ ED = 4cm`
