Đáp án:
$\\$
`a,`
Xét `ΔABC` vuông tại `A` có :
`AB^2 + AC^2=BC^2` (Pitago)
`-> BC^2 = 9^2 + 12^2`
`-> BC^2=15^2`
`-> BC=15cm`
$\\$
$\\$
`b,`
Do `ΔABC` vuông tại `A`
`-> hat{BAD}=90^o`
Do `DM⊥BC`
`-> hat{BMD}=90^o`
Do `BD` là tia phân giác của `hat{B}`
`-> hat{ABD}=hat{MBD}`
Xét `ΔABD` và `ΔMBD` có :
$\left.\begin{matrix} \widehat{BAD}=\widehat{BMD}=90^o\\ \text{BD chung}\\ \widehat{ABD} = \widehat{MBD} \text{(chứng minh trên)}\end{matrix}\right\}$ `-> ΔABD = ΔMBD` (ch - gn)
$\\$
$\\$
`c,`
Do `ΔABD = ΔMBD` (chứng minh trên)
`->AD=MD` (2 cạnh tương ứng)
và `AB=MB` (2 cạnh tương ứng)
Xét `ΔEAD` và `ΔCMD` có :
$\left.\begin{matrix} \widehat{EAD}=\widehat{CMD}=90^o\\ \text{AD=MD (chứng minh trên)}\\ \widehat{ADE} = \widehat{MDC} \text{(2 góc đối đỉnh)}\end{matrix}\right\}$ `-> ΔEAD=ΔCMD` (g.c.g)
`-> AE=MC` (2 cạnh tương ứng)
Có : \(\left\{ \begin{array}{l}AB+AE=BE\\MB+MC=BC\end{array} \right.\)
mà `AB=MB` (chứng minh trên), `AE=MC` (chứng minh trên)
`-> BE=BC`
`-> ΔBEC` cân tại `B`
`-> hat{BEC} = hat{BCE}`
$\\$
$\\$
`d,`
Gọi `H` là giao của `CK` và `EK`
Có : `K` là trung điểm của `DE`
`-> CK` là đường trung tuyến của `ΔEDC`
Có : `L` là trung điểm của `DC`
`-> EL` là đường trung tuyến của `ΔEDC`
Xét `ΔEDC` có :
`CK` là đường trung tuyến
`EL` là đường trung tuyến
`CK` cắt `EL` tại `H`
`-> H` là trực tâm của `ΔEDC`
`->` \(\left\{ \begin{array}{l}EH=\dfrac{2}{3}EL\\CH=\dfrac{2}{3}CK\end{array} \right.\)
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔEHC` có :
`EH + HC > EC`
Thay \(\left\{ \begin{array}{l}EH=\dfrac{2}{3}EL\\CH=\dfrac{2}{3}CK\end{array} \right.\) vào ta được :
`↔ 2/3 EL + 2/3 CK > EC`
`↔ 2/3 (EL + CK) > EC`
`↔EL + CK > 3/2EC`
