Đáp án:
a) Ta có: DEFˆ+DEPˆ=1800DEF^+DEP^=1800(hai góc kề bù)
DFEˆ+DFQˆ=1800DFE^+DFQ^=1800(hai góc kề bù)
mà DEFˆ=DFEˆDEF^=DFE^(hai góc ở đáy của ΔDEF cân tại D)
nên DEPˆ=DFQˆDEP^=DFQ^
Xét ΔDEP và ΔDFQ có
DE=DF(ΔDEF cân tại D)
DEPˆ=DFQˆDEP^=DFQ^(cmt)
PE=FQ(gt)
Do đó: ΔDEP=ΔDFQ(c-g-c)
⇒DP=DQ(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔDPQ có DP=DQ(cmt)
nên ΔDPQ cân tại D(định nghĩa tam giác cân)
b) Ta có: ΔDEP=ΔDFQ(cmt)
⇒DPEˆ=DQFˆDPE^=DQF^(hai góc tương ứng)
hay MPEˆ=NQFˆMPE^=NQF^
Xét ΔMPE vuông tại M và ΔNFQ vuông tại N có
PE=FQ(gt)
MPEˆ=NQFˆMPE^=NQF^(cmt)
Do đó: ΔMPE=ΔNFQ(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒EM=FN(hai cạnh tương ứng)
c) Ta có: ΔMPE=ΔNFQ(cmt)
⇒MP=NQ(hai cạnh tương ứng)
Ta có: DM+MP=DP(do D,M,P thẳng hàng)
DN+NQ=DQ(do D,N,Q thẳng hàng)
mà DP=DQ(cmt)
và MP=NQ(cmt)
nên DM=DN(đpcm)
d) Ta có: ΔMPE=ΔNFQ(cmt)
⇒MEPˆ=NFQˆMEP^=NFQ^(hai góc tương ứng)
mà MEPˆ=FEIˆMEP^=FEI^(hai góc đối đỉnh)
và NFQˆ=EFIˆNFQ^=EFI^(hai góc đối đỉnh)
nên FEIˆ=EFIˆFEI^=EFI^
Xét ΔIEF có FEIˆ=EFIˆFEI^=EFI^(cmt)
nên ΔIFE cân tại I(định lí đảo của tam giác cân)
e) *Tính số đo các góc của ΔDQP
Xét ΔDEF cân tại D có EDFˆ=600EDF^=600(gt)
nên ΔDEF đều(dấu hiệu nhận biết tam giác đều)
⇒DE=EF=DF và EDFˆ=DEFˆ=DFEˆ=600EDF^=DEF^=DFE^=600(số đo của các cạnh và các góc trong ΔDEF đều)
mà EP=FQ=EF(gt)
nên PE=DE=EF=DF=FQ
Ta có: DEFˆ+DEPˆ=1800DEF^+DEP^=1800(hai góc kề bù)
hay DEPˆ=1800−DEFˆ=1800−600=1200DEP^=1800−DEF^=1800−600=1200
Xét ΔDEP có DE=EP(cmt)
nên ΔDEP cân tại E(định nghĩa tam giác cân)
⇒Pˆ=1800−DEPˆ2P^=1800−DEP^2(số đo của một góc ở đáy trong ΔDEP cân tại E)
hay Pˆ=1800−12002=300P^=1800−12002=300
Ta có: ΔDPQ cân tại D(cm câu a)
⇒Pˆ=QˆP^=Q^(hai góc ở đáy)
mà Pˆ=300P^=300(cmt)
nên Qˆ=300Q^=300
Ta có: ΔDPQ cân tại D(cmt)
⇒PDQˆ=1800−2⋅PˆPDQ^=1800−2⋅P^(số đo của góc ở đỉnh trong ΔDPQ cân tại D)
hay PDQˆ=1800−2⋅300=1200PDQ^=1800−2⋅300=1200
*Cho biết ΔIEF là tam giác gì
Ta có: ΔPEM vuông tại M(EM⊥PD)
⇒Pˆ+MEPˆ=900P^+MEP^=900(hai góc phụ nhau)
hay MEPˆ=900−Pˆ=900−300=600MEP^=900−P^=900−300=600
mà MEPˆ=FEIˆMEP^=FEI^(hai góc đối đỉnh)
nên FEIˆ=600FEI^=600
Xét ΔIEF cân tại I có FEIˆ=600FEI^=600(cmt)
nên ΔIEF đều
Vậy: Khi EDFˆ=600EDF^=600 và PE=EF=FQ thì số đo của các góc trong ΔDPQ lần lượt là: Pˆ=300P^=300, Qˆ=300Q^=300, PDQˆ=1200PDQ^=1200 và ΔIEF đều
f) Xét ΔDEI và ΔDFI có
DE=DF(ΔDEF cân tại D)
DI chung
EI=FI(ΔEFI cân tại I)
Do đó: ΔDEI=ΔDFI(c-c-c)
⇒EDIˆ=FDIˆEDI^=FDI^(hai góc tương ứng)
mà tia DI nằm giữa hai tia DE,DF
nên DI là tia phân giác của EDFˆEDF^(đpcm)
g) Ta có: DE=DF(ΔDEF cân tại D)
⇒D nằm trên đường trung trực của EF(t/c đường trung trực của một đoạn thẳng)(a)
Ta có: IE=IF(ΔIEF cân tại I)
⇒I nằm trên đường trung trực của EF(t/c đường trung trực của một đoạn thẳng)(b)
Từ (a) và (b) suy ra DI là đường trung trực của EF(đpcm)
Giải thích các bước giải:
