Bài 6: a) Do $Ax$ là tia phân giác $\widehat A$ nên $\widehat{BAx}=\widehat{CAx}=\dfrac{\widehat A}{2}=\dfrac{120^o}{2}=60^o$
hay $\widehat{BAD}=60^o$
$\Delta BAD$ có $AB=AD$ (giả thiết) nên $\Delta ABD$ cân đỉnh A lại có $\widehat{BDA}=60^o\Rightarrow\Delta ABD$ đều (đpcm)
b) Do $\Delta ABD$ đều nên BA=BD (1)
$\widehat{ADB}+\widehat{EDB}=180^o$ (do $\widehat{ADE}$ là góc bẹt)
$\Rightarrow\widehat{EDB}=180-\widehat{ADB}=180^o-60^o=120^o=\widehat{CAB}$
$\Rightarrow\widehat{EDB}=\widehat{CAB}$ (2)
AE=AD+DE mà AE=AB+AC (giả thiết), AD=AB (giả thiết)
nên AB+AC=AB+DE$\Rightarrow$ AC=DE (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra $\Delta ABC=\Delta DBE$ (c.g.c) (đpcm)
c) $\Delta ABC=\Delta DBE\Rightarrow BC=BE$ (hai cạnh tương ứng) (4)
$\widehat{ABC}=\widehat{DBE}$ (hai góc tương ứng)
mà $\widehat{ABD}=\widehat{ABC}+\widehat{CBD}=60^o$
$\Rightarrow \widehat{DBE}+\widehat{CBD}=60^o=\widehat{CBE}$ (5)
Từ (4) và (5) nên $\Delta BCE$ đều (đpcm)
Bài 7: a) Ta có: $AM=\dfrac{1}{3}MB\Rightarrow\dfrac{AM}{1}=\dfrac{MB}{3}$
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
$\dfrac{AM}{1}=\dfrac{MB}{3}=\dfrac{AM+MB}{1+3}=\dfrac{AB}{4}=2$
$\Rightarrow AM=2$cm và $MB=3.2=6$cm
Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta$ vuông $AMC$ ta có:
$MC^2=AC^2+AM^2=3^2+2^2=13\Rightarrow MC=\sqrt{13} $cm
Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta$ vuông $DBM$ có:
$MD^2=MB^2+DB^2=6^2+4^2=52\Rightarrow MD=2\sqrt{13}$cm
Dựng $CH//AB$
Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HCB$ có:
$\widehat{ABC}=\widehat{HCB}$ (AH//AB hai góc ở vị trí so le trong)
CB chung
$\widehat{ACB}=\widehat{HBC}$ (AC//BH hai góc ở vị trí so le trong)
$\Rightarrow \Delta ABC=\Delta HCB$ (c.g.c)
$\Rightarrow AB=HC=8cm$, $AC=HB=3cm\Rightarrow HD=DB-HB=4-3=1cm$
Do $CH\\AB$ cách dựng và $AB\bot BH\Rightarrow CH\bot BH\Rightarrow\widehat{CHB}=90^o$
Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta $ vuông $CHD$ có:
$CD^2=CH^2+HD^2=8^2+1^2=65\Rightarrow CD=\sqrt{65}$cm
b) Ta thấy $CD^2=65= CM^2+DM^2=13+52$
nên $\Delta CDM$ là tam giác vuông đỉnh M.
