Đáp án:
\[\left[ \begin{array}{l}
\frac{5}{4} < m < 2\\
m < - 1
\end{array} \right.\]
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}
y = {x^3} + \left( {1 - 2m} \right){x^2} + \left( {2 - m} \right)x + m + 2\\
\Rightarrow y' = 3{x^2} + 2\left( {1 - 2m} \right)x + \left( {2 - m} \right)
\end{array}\]\
Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt
\[\begin{array}{l}
\Rightarrow Δ ' > 0\\
\Leftrightarrow {\left( {1 - 2m} \right)^2} - 3\left( {2 - m} \right) > 0\\
\Leftrightarrow 4{m^2} - m - 5 > 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > \frac{5}{4}\\
m < - 1
\end{array} \right.
\end{array}\]
Giả sử \({x_1};{x_2}\) là hai cực trị của hàm số với \[{x_1} < {x_2}\]
Hàm số đã cho có hệ số của \({x^3} > 0\) nên \({x_1}\) là điểm cực đại , \({x_2}\) là điểm cực tiểu
Theo giả thiết \({x_2} < 1\) nên ta có:
\[\begin{array}{l}
{x_1} < {x_2} < 1\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} < 2\\
\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} < 2\\
{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2m - 1}}{3} < 2\\
\frac{{2 - m}}{3} - \frac{{2m - 1}}{3} + 1 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < \frac{7}{2}\\
m < 2
\end{array} \right. \Rightarrow m < 2
\end{array}\]
Kết hợp điều kiện trên ta có:
\[\left[ \begin{array}{l}
\frac{5}{4} < m < 2\\
m < - 1
\end{array} \right.\]
