Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:

- Xét hàm đặc trưng, từ đó giải phương trình tìm \(x\).Giải chi tiết:ĐKXĐ: \(\dfrac{{{x^2} + 1}}{{2x + 3}} > 0 \Leftrightarrow 2x + 3 > 0 \Leftrightarrow x >  - \dfrac{3}{2}\).Ta có:\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\log _4}\left( {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{2x + 3}}} \right) + {x^2} - x = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\log _2}\left( {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{2x + 3}}} \right) + {x^2} - x = 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{2x + 3}}} \right) + 2{x^2} - 2x = 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right) + 1 - {\log _2}\left( {2x + 3} \right) + \left( {2{x^2} + 2} \right) - \left( {2x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2{x^2} + 2} \right) + \left( {2{x^2} + 2} \right) = {\log _2}\left( {2x + 3} \right) + \left( {2x + 3} \right)\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)Xét hàm số \(y = {\log _2}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(y' = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\,\forall t > 0\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). Do đó từ (*) ta có \(2{x^2} + 2 = 2x + 3 \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{2}\\x = \dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\).\( \Rightarrow 2{x_1} + 3{x_2} = 2.\dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{2} + 3.\dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{2} = \dfrac{1}{2}\left( {5 + \sqrt 3 } \right)\).\( \Rightarrow a = 5,\,\,b = 3\). Vậy \(a + b = 5 + 3 = 8\).Chọn C