Biết đồ thị \(y={{x}^{4}}-\left( m-1 \right){{x}^{2}}+{{m}^{2}}-m-1\) cắt trục hoành tại đúng ba điểm phân biệt. Khi đó m thuộc khoảng: A. \(\left( -1;0 \right)\) B. \(\left( -2;-1 \right)\) C. \(\left( 0;1 \right)\) D. \(\left( 1;2 \right)\)
Đáp án đúng: D Giải chi tiết:Xét \(y'=4{{x}^{3}}-2x\left( m-1 \right)=0\Leftrightarrow 2x\left( 2{{x}^{2}}-\left( m-1 \right) \right)=0\) Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì trước hết phương trình y’ = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow m-1>0\Leftrightarrow m>1\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=\pm \sqrt{\frac{m-1}{2}} \\ \end{align} \right.\) Dựa vào hình dáng của đồ thị hàm đa thức bậc 4 trùng phương khi \(a>0\) có đồ thị hàm số quay lên trên nên ta dễ dàng nhận ra được \({{y}_{CD}}=y\left( 0 \right)={{m}^{2}}-m-1\) Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt \(\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \\ & m=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \\ \end{align} \right.\) Kết hợp điều kiện \(m>1\Rightarrow m=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\in \left( 1;2 \right)\) Chọn D.