Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {{z_1} - 3 - 4i} \right| = 3\\\left| {{z_2} + 1 + \dfrac{1}{4}i} \right| = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left| {4{z_2} + 4 + i} \right| = 2\end{array} \right.\)
Theo bài ra ta có \(a - 2b = 5 \Leftrightarrow b = \dfrac{{a - 5}}{2}\) \( \Rightarrow \) \(z = a + \dfrac{{a - 5}}{2}i\).
Số phức \(z\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {a;\dfrac{{a - 5}}{2}} \right)\).
Giả sử:
\({z_1}\) có điểm biểu diễn  là \(A\)
\(4{z_2}\) có điểm biểu diễn là \(B\)
Khi đó ta có:
Tập hợp các điểm \(A\) là đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {3;4} \right)\), bán kính \({R_1} = 3\).
Tập hợp các điểm \(B\) là đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( { - 4; - 1} \right)\), bán kính \({R_2} = 2\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = a\\{y_M} = \dfrac{{a - 5}}{2} = \dfrac{{{x_M} - 5}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_M} - 2{y_M} - 5 = 0\) nên tập hợp các điểm \(M\) là đường thẳng \(\Delta   :\,\,x - 2y - 5 = 0\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}P = \left| {{z_1} - z} \right| + \left| {z - 4{z_2}} \right|\\\,\,\,\,\, = MA + MB \ge M{I_1} - {I_1}A + M{I_2} - {I_2}B\\\,\,\,\,\, = M{I_1} + M{I_2} - 5\end{array}\)

Gọi \({I_1}'\)là điểm đối xứng với \({I_1}\) qua \(\Delta \).
Vì \({I_1}{I_1}' \bot \Delta \) nên phương trình đường thẳng \({I_1}{I_1}'\) có dạng \(2x + y + c = 0\).
\({I_1}\left( {3;4} \right) \in {I_1}{I_1}' \Rightarrow 2.3 + 4 + c = 0 \Leftrightarrow c =  - 10\) \( \Rightarrow \left( {{I_1}{I_1}'} \right):\,\,2x + y - 10 = 0\).
Gọi \(H = {I_1}{I_1}' \cap \Delta \) \( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 10 = 0\\x - 2y - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {5;0} \right)\).
Vì \(H\) là trung điểm của \({I_1}{I_1}'\) nên \({I_1}'\left( {7; - 4} \right)\).
Vì \({I_1},\,\,{I_1}'\) đối xứng nhau qua \(\Delta \) nên \(M{I_1} = M{I_1}'\).
\( \Rightarrow M{I_1} + M{I_2} = M{I_1}' + M{I_2} \ge {I_1}'{I_2} = \sqrt {{{11}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {130} \).
Vậy \(P \ge \sqrt {130}  - 5\) nên \({P_{\min }} = \sqrt {130}  - 5\).
Chọn D