\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{1+ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{b^2+1+a^2+1}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}\ge\frac{2}{1+ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+ab\right)\left(b^2+1+a^2+1\right)\ge2\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(1+ab\right)\left(b^2+a^2+2\right)\ge2\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow b^2\left(1+ab\right)+a^2\left(1+ab\right)+2\left(1+ab\right)\ge\left(2a^2+2\right)\left(b^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow b^2+ab^3+a^2+a^3b+2+2ab\ge b^2\left(2a^2+2\right)+2a^2+2\)
\(\Leftrightarrow b^2+ab^3+a^2+a^3b+a^3b+2+2ab\ge2a^2b^2+2b^2+2a^2+2\)
\(\Leftrightarrow ab^3+a^3b+2+2ab\ge2a^2b^2+a^2+b^2+2\)
\(\Leftrightarrow ab^3+a^3b+2ab\ge2a^2b^2+a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^2+b^2\right)+2ab\ge2a^2b^2+a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^2+b^2\right)-\left(a^2+b^2\right)\ge2a^2b^2-2ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(ab-1\right)\ge2ab\left(ab-1\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) ( đpcm )
