`a)`
Xét `ΔHBA` và `ΔABC` có:
`hat{B}:chung`
`hat{BHA}=hat{BAC}=90^o`
`⇒ΔHBA`$\backsim$`ΔABC(g.g)(đpcm)`
`⇒(AB)/(CB)=(HB)/(AB)`
`⇒AB²=HB.CB(đpcm)`
`b)`
Áp dụng định lý Py-ta-go vào `Δ` vuông `ABC` ta có:
`BC²=AB²+AC²`
`BC²=9²+12²`
`BC²=81+144`
`BC²=225`
`BC=`$\sqrt[]{225}$
`BC=15(cm)`
Theo câu `a)ΔHBA`$\backsim$`ΔABC(g.g)`
`⇒(AH)/(CA)=(AB)/(CB)`
`⇒(AH)/12=9/15`
`⇒AH=(12.9)/15`
`⇒AH=108/15`
`⇒AH=7,2(cm)`
Vậy `BC=15cm` và `AH=7,2cm`
`c)`
Xét `ΔCAD` và `ΔCHI` có:
`hat{CAD}=hat{CHI}=90^o`
`hat{C_1}=hat{C_2}(g``t)`
`⇒ΔCAD`$\backsim$`ΔCHI(g.g)`
`⇒hat{D_1}=hat{I_2}(2` góc tương ứng `)`
Mà `hat{I_1}=hat{I_2}(2` góc đối đỉnh `)`
`⇒hat{D_1}=hat{I_1}`
`⇒ΔADI` cân tại `A`
`⇒AD=AI(` tính chất `Δ` cân `)`
Xét `ΔACH` có `CI` là tia phân giác của `hat{ACH}`,áp dụng tính chất đường phân giác ta có:
`(HI)/(AI)=(HC)/(AC)(1)`
Xét `ΔABC` có `CD` là tia phân giác của `hat{ACB}`,áp dụng tính chất đường phân giác ta có:
`(AD)/(BD)=(AC)/(BC)(2)`
Xét `ΔAHC` và `ΔBAC` có:
`hat{C}:chung`
`hat{AHC}=hat{BAC}=90^o`
`⇒ΔAHC`$\backsim$`ΔBAC(g.g)`
`⇒(HC)/(AC)=(AC)/(BC)(3)`
Từ `(1),(2)` và `(3)⇒(HI)/(AI)=(AD)/(BD)`
Mà `AD=AI(cmt)`
`⇒(HI)/(AI)=(AI)/(BD)`
`⇒AI²=BD.HI(đpcm)`
