Đáp án:
$x=\arccos\dfrac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}+\arcsin\dfrac{1-\sqrt3}{2\sqrt2}+k2\pi$;
$x=\pi+\arccos\dfrac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}-\arcsin\dfrac{1-\sqrt3}{2\sqrt2}+k2\pi$
$(k\in\mathbb Z)$
Giải thích các bước giải:
$(\sqrt3-1)\sin x-(\sqrt3+1)\cos x+\sqrt3-1=0$
$\Leftrightarrow(\sqrt3-1)\sin x-(\sqrt3+1)\cos x=1-\sqrt3$ (1)
Do $(\sqrt3-1)^2+(\sqrt3+1)^2=3+1-2\sqrt3+3+1+2\sqrt3=8\ge(1-\sqrt3)^2=1+3-2\sqrt3=4-2\sqrt3$
Nên phương trình có nghiệm
Ta đặt
$\cos \alpha=\dfrac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}$ do $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ $\forall\alpha$
$\Rightarrow$ đặt $\sin\alpha=\dfrac{\sqrt3+1}{2\sqrt2}$
(1) tương đương:
$\cos\alpha\sin x-\sin\alpha\cos x=\dfrac{1-\sqrt3}{2\sqrt2}$
$\Leftrightarrow\sin(x-\alpha)=\dfrac{1-\sqrt3}{2\sqrt2}$
$\Leftrightarrow x=\alpha+\arcsin\dfrac{1-\sqrt3}{2\sqrt2}+k2\pi$
hoặc $x=\pi+\alpha-\arcsin\dfrac{1-\sqrt3}{2\sqrt2}+k2\pi$
$(k\in\mathbb Z)$ và $\alpha=\arccos\dfrac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}$
Vậy phương trình có nghiệm
$x=\arccos\dfrac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}+\arcsin\dfrac{1-\sqrt3}{2\sqrt2}+k2\pi$;
$x=\pi+\arccos\dfrac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}-\arcsin\dfrac{1-\sqrt3}{2\sqrt2}+k2\pi$
$(k\in\mathbb Z)$.
