Đáp án:
$B.\ \pi\dfrac{2e^3+1}{9}$
Giải thích các bước giải:
Phương trình hoành độ giao điểm giữa $(H)$ và $y= 0$
$\quad x\sqrt{\ln x} = 0\qquad (ĐK:x > 0)$
$\Leftrightarrow \ln x = 0$
$\Leftrightarrow x = 1$
Thể tích khối tròn xoay cần tìm:
$\quad V =\pi\displaystyle\int\limits_1^e\left(x\sqrt{\ln x}\right)^xdx$
$\to V = \pi\displaystyle\int\limits_1^ex^2\ln xdx$
Đặt $\begin{cases}u = \ln x\\dv = x^2dx\end{cases}\longrightarrow \begin{cases}du =\dfrac1xdx\\v =\dfrac{x^3}{3}\end{cases}$
Ta được:
$\quad V = \pi\left(\dfrac{x^3\ln x}{3}\Bigg|_1^e - \dfrac13\displaystyle\int\limits_1^ex^2dx\right)$
$\to V =\pi\left(\dfrac{x^3\ln x}{3}\Bigg|_1^e - \dfrac19x^3\Bigg|_1^e\right)$
$\to V = \pi\cdot\dfrac{1+2e^3}{9}$
