a) Gọi $(P)$ là đường tròn ngoại tiếp $ΔACD$
$(Q)$ là đường tròn ngoại tiếp $ΔBCD$
Ta có: $AECD$ nội tiếp $(P)$
$BDCF$ nội tiếp $(Q)$
$\Rightarrow \widehat{EAD} + \widehat{ECD} = 180^o$
mà $Ax\perp AB; \, E \in Ax$
nên $\widehat{EAD} = 90^o$
$\Rightarrow \widehat{ECD} = 180^o - 90^o = 9^o$
Tương tự, ta được: $\widehat{FCD} = 90^o$
Ta có: $\widehat{ECD} + \widehat{FCD} = 90^o + 90^o = 180^o$
$\Rightarrow E, C, D$ thẳng hàng
b) Ta có: $AECD$ nội tiếp
$\widehat{EAD} = \widehat{ECD} = 90^o$
$\widehat{EAD}; \, \widehat{ECD}$ cùng nhìn cạnh $ED$
$\Rightarrow P$ là trung điểm $ED$
$\Rightarrow PE = PC = PD = PA$
$\Rightarrow ΔPEC; \, ΔPCD$ cân tại $P$
$\Rightarrow \widehat{PCD} = \widehat{PDC}; \, \widehat{PCE} = \widehat{PEC}$
Tương tự ta được: $Q$ là trung điểm $DF$
$\widehat{QCD} = \widehat{QDC}; \, \widehat{QCF} = \widehat{QFC}$
Ta có: $\widehat{PCD} + \widehat{PCE} = \widehat{ECD} = 90^o$
$\Rightarrow \widehat{PDC} + \widehat{PEC} = 90^o$
mà $\widehat{PEC} = \widehat{CAD}$ (cùng chắn $\overparen{CD}$)
$\widehat{CAD} = 180^o - \widehat{ACB} - \widehat{ABC}$
$= 180^o - 90^o - \widehat{ABC} = 90^o - \widehat{ABC}$ ($\widehat{ACB}$ nhìn đường kính $AB$)
$\Rightarrow \widehat{PEC} = 90^o - \widehat{ABC}$
$\Rightarrow \widehat{PDC} = \widehat{ABC}$ $(1)$
Ta lại có: $\widehat{ABC} = \widehat{CBD} = \widehat{CFD}$ (cùng chắn $\overparen{CD}$)
$\widehat{CFD}= \widehat{CFQ} = \widehat{QCF}$
mà $\widehat{QCF} + \widehat{QCD} = \widehat{DCF} = 90^o$
$\Rightarrow \widehat{QCD} + \widehat{ABC} = 90^o$
hay $\widehat{QDC} + \widehat{ABC} = 90^o$ $(2)$
$(1)(2) \Rightarrow \widehat{PDC} + \widehat{QDC} = \widehat{EDF} = 90^o$
$\Rightarrow ΔEDF$ vuông tại $D$
Áp dụng hệ thức lượng trong $ΔEDF$ vuông tại $D$, đường cao $DC$, ta được:
$DC^2 = EC.CF \, (đpcm)$
