Đáp án:
Theo đề bài, ta có:
$\bullet a\le 1$
$\to a.{{a}^{2}}\le 1.{{a}^{2}}$
$\to {{a}^{3}}\le {{a}^{2}}\left( 1 \right)$
$\bullet b\le 1$
$\to {{b}^{2}}\le {{1}^{2}}$
$\to {{b}^{2}}\le 1$
${{b}^{2}}.b\le 1.b$
$\to {{b}^{3}}\le b\left( 2 \right)$
Lấy $\left( 1 \right)+\left( 2 \right)$, ta được:
${{a}^{3}}+{{b}^{3}}\le {{a}^{2}}+b\left( 3 \right)$
$\bullet a\le 1$
$\to {{a}^{2}}\le {{1}^{2}}$
$\to {{a}^{2}}\le 1$
$\to {{a}^{2}}-1\le 0\left( 4 \right)$
$\bullet b\le 1$
$\to b-1\le 0\left( 5 \right)$
Lấy $\left( 4 \right).\left( 5 \right)$, ta được
$\to \left( {{a}^{2}}-1 \right)\left( b-1 \right)\ge 0$
$\to {{a}^{2}}b-{{a}^{2}}-b+1\ge 0$
$\to {{a}^{2}}+b\le {{a}^{2}}b+1\,\,\,\,\,\left( 6 \right)$
$\bullet \,\,\,\,\,$Kết hợp với ý $\left( 3 \right)$ và $\left( 6 \right)$, ta được:
${{a}^{3}}+{{b}^{3}}\le {{a}^{2}}b+1$
Chứng minh tương tự, ta cũng sẽ được các kết quả như sau:
${{b}^{3}}+{{c}^{3}}\le {{b}^{2}}c+1$
${{c}^{3}}+{{a}^{3}}\le {{c}^{2}}a+1$
$\bullet \,\,\,\,\,$Cộng vế theo vế, ta được:
${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+{{c}^{3}}+{{a}^{3}}\le {{a}^{2}}b+1+{{b}^{2}}c+1+{{c}^{2}}a+1$
$\to 2{{a}^{3}}+2{{b}^{3}}+2{{c}^{3}}\le 3+{{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a$
