+ Với x > 0. Chứng minh: \(x^{2}(1-2x)\leq \frac{1}{27}\)
Ta có: \(x^{2}(1-2x)\leq \frac{1}{27}\Leftrightarrow x^{2}-2x^{3}\leq \frac{1}{27}\Leftrightarrow x^{2}\leq 2x^{3}+\frac{1}{27}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số \(x^{3};x^{3};\frac{1}{27}.\) Ta có:
\(\frac{1}{27}+2x^{3}=x^{3}+x^{3}+\frac{1}{27}\geq 3.\sqrt[3]{x^{3}.x^{3}.\frac{1}{27}}=x^{2}\)
+ Ta có:
\(A=\frac{1}{a(4b+6c-3)}+\frac{2}{b(3c+a-1)}+\frac{9}{c(2a+4b-1)}\)
\(=\frac{1}{a(1-2a)}+\frac{2}{b(1-2b)}+\frac{9}{c(3-6c)}\)
\(=\frac{a}{a^{2}(1-2a)}+\frac{2b}{b^{2}(1-2b)}+\frac{3c}{c^{2}(3-6c)}\)
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
\(A=\frac{a}{a^{2}(1-2a)}+\frac{2b}{b^{2}(1-2b)}+\frac{3c}{c^{2}(3-6c)}\geq \frac{a}{\frac{1}{27}}+\frac{2b}{\frac{1}{27}}+\frac{3c}{\frac{1}{27}}=54\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = \(\frac{1}{3}\)
