Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn xyz = $2\sqrt{2}$ $\frac{x^{8}+y^{8}}{x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2}}+\frac{y^{8}+z^{8}}{y^{4}+z^{4}+y^{2}z^{2}}\frac{x^{8}+z^{8}}{x^{4}+z^{4}+x^{2}z^{2}}\geq 8$

tovinhdien123456789

5 năm trước

Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn xyz = $2\sqrt{2}$

$\frac{x^{8}+y^{8}}{x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2}}+\frac{y^{8}+z^{8}}{y^{4}+z^{4}+y^{2}z^{2}}\frac{x^{8}+z^{8}}{x^{4}+z^{4}+x^{2}z^{2}}\geq 8$

Loga Toán lớp 10

0 lượt thích 247 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

joseysakura98

Ta có $\frac{a^{4}+b^{4}}{a^{2}+b^{2}+ab}\geq \frac{a^{4}+b^{4}}{\frac{3}{2}(a^{2}+b^{2})}$

Ta sẽ chứng minh: $\frac{a^{4}+b^{4}}{\frac{3}{2}(a^{2}+b^{2})}\geq \frac{1}{3}(a^{2}+b^{2})\; \; \; \; (1)$

Thật vậy (1) $\Leftrightarrow 2(a^{4}+b^{4})\geq (a^{2}+b^{2})^{2}\Leftrightarrow (a^{2}+b^{2})^{2}\geq 0$ luôn đúng

Do đó a được: $\frac{a^{4}+b^{4}}{a^{2}+b^{2}+ab}\geq \frac{1}{3}(a^{2}+b^{2})$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a^{2}=b^{2}\Leftrightarrow a=b$

Áp dụng BĐT trên ta có:

$\frac{b^{4}+c^{4}}{b^{2}+c^{2}+bc}\geq \frac{1}{3}(b^{2}+c^{2})$ Dấu "=" có $\Leftrightarrow b=c$

$\frac{c^{4}+a^{4}}{c^{2}+a^{2}+aa}\geq \frac{1}{3}(c^{2}+a^{2})$ Dấu "=" có $\Leftrightarrow c=a$

Cộng các vế BĐT trên ta được:

$\frac{a^{4}+b^{4}}{a^{2}+b^{2}+ab}+\frac{b^{4}+c^{4}}{b^{2}+c^{2}+bc}+\frac{c^{4}+a^{4}}{c^{2}+a^{2}+aa}\geq \frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\; \; \; \; (2)$

Dấu "=" có $\Leftrightarrow a=b=c$

Theo BĐT cosi ta có $\geq 2\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}=8$ Dấu "=" có $\Leftrightarrow a=b=c$

Do đó ta có ĐPCM.

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left | x \right |=\left | y \right |=\left | z \right |=\sqrt{2}$

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) $x^{2}+y^{2}=2x$ . Tam giác ABC vuông tại A có AC là tiếp tuyến của đường tròn (C) tại A, chân đường cao từ A của tam giác ABC là điểm H (2; 0). Tìm tọa độ đỉnh B của tam giác biết B có tung độ dương và diện tích tam giác ABC là $\frac{2}{\sqrt{3}}$

Bài này phải làm sao mọi người?

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (C): x2 + y2= 25, đường thẳng AC đi qua điểm K(2; 1). Gọi M, N lần lượt là chân đường cao kẻ từ đỉnh B và C. Tìm tọa độ các đỉnh của ∆ABC biết phương trình đường thẳng MN là 4x - 3y +10 = 0 và điểm A có hoành độ âm.

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang OABC (O là gốc tọa độ) có diện tích bằng 6, OA song song với BC, đỉnh A(-1; 2), đỉnh B thuộc đường thẳng (d1): x + y + 1 = 0, đỉnh C thuộc đường thẳng (d2): 3x + y + 2 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B, C.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): x – y + 1 - $\sqrt{2}$ = 0 và điểm A(-1;1). Viết phương trình đường tròn (C) qua A, gốc tọa độ O và tiếp xúc với đường thẳng d.

Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!

Trong mặt phẳng với hệ tοạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD và M là một điểm thuộc cạnh CD (M≠ C,D). Qua điểm A dựng đường thẳng d vuông góc với AM, d cắt đường thẳng BC tại điểm N. Biết rằng trung điểm của đoạn thẳng MN là gốc tọa độ O, I là giaο điểm của AO và BC. Tìm tọa độ điểm B của hình vuông biết A(-6;4), O(0;0), I(3;-2) và điểm N có hoành độ âm.

Giải bất phương trình $\sqrt{x+1}\geq \frac{x^2-x-2\sqrt[3]{2x+1}}{\sqrt[3]{2x+1}-3}$ trên tập hợp số thực.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có diện tích bằng 40, đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn (S): $(x-4)^2+(y-1)^2=2$ , điểm nằm trên đường thẳng AB, đường thẳng AC có phương trình x - 3y + 1 = 0. Tìm tọa độ các điểm A, D biết D có hoành độ nhỏ hơn 5.

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=2\\\frac{2x^{5}}{x+y}+(xy+1)^{2}=5 \end{matrix}\right.\; (x,y\in R).$

Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x(x+6y-4)+(3y(3y-4)+8)}+2(x+y)=\sqrt{(x+y)^2+4(1-xy)}+2\\ \sqrt{3x-xy+22}-\sqrt{1-y}=x^2-2y+3 \end{matrix}\right.$

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có $\small \widehat{BAD}=\widehat{ADC}=90^0$ , AD = 2, DC = 4, đỉnh C nằm trên đường thẳng d: 3x – y + 2 = 0. Diểm M nằm trên cạnh AD sao cho AM = 2MD và đường thẳng BM có phương trình là 3x – 2y + 2 = 0. Tìm tọa độ của đỉnh C.