Đáp án:
\[{\left( {{x^2} + 4{y^2}} \right)_{\min }} = \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{5}\]
Giải thích các bước giải:
Ta có bất đẳng thức sau:
\(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) - {\left( {ac + bd} \right)^2}\\
= \left( {{a^2}{c^2} + {a^2}{d^2} + {b^2}{c^2} + {b^2}{d^2}} \right) - \left( {{a^2}{c^2} + 2ac.bd + {b^2}{d^2}} \right)\\
= {a^2}{d^2} + {b^2}{c^2} - 2acbd\\
= {\left( {ad} \right)^2} - 2ad.bc + {\left( {bc} \right)^2}\\
= {\left( {ad - bc} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\forall a,b,c,d
\end{array}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(ad = bc \Leftrightarrow \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}\)
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
\(\begin{array}{l}
\left( {{x^2} + 4{y^2}} \right)\left( {1 + 4} \right) = \left[ {{x^2} + {{\left( {2y} \right)}^2}} \right]\left( {{1^2} + {2^2}} \right) \ge {\left( {x.1 + 2y.2} \right)^2} = {\left( {x + 4y} \right)^2} = {1^2}\\
\Rightarrow 5.\left( {{x^2} + 4{y^2}} \right) \ge 1\\
\Rightarrow {x^2} + 4{y^2} \ge \dfrac{1}{5}
\end{array}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi:
\(\dfrac{x}{1} = \dfrac{{2y}}{2} \Leftrightarrow x = y \Rightarrow x = y = \dfrac{1}{5}\)
Vậy \({\left( {{x^2} + 4{y^2}} \right)_{\min }} = \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{5}\)
