Chóp đều \(S.ABCD\) có chiều cao bằng cạnh đáy và cùng bằng \(a\). \(M,N\) là trung điểm của \(SB,CD\). Tính \(\sin \left( {MN;\left( {SAC} \right)} \right)\).
A.\(\dfrac{1}{4}\)                      
B.\(\dfrac{2}{3}\)                      
C.\(\dfrac{2}{{\sqrt 7 }}\)        
D.\(\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\)

Cho \(\left( {{\Delta _1}} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = {t_1}\\y = 3\\z = 6 + {t_1}\end{array} \right.,\,\,\left( {{\Delta _2}} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + {t_2}\\y = 1 - {t_2}\\z = 2 - {t_2}\end{array} \right.\). Phương trình đường vuông góc chung của \(\left( {{\Delta _1}} \right)\) và \(\left( {{\Delta _2}} \right)\) là:
A.\(\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{2} = \dfrac{{z - 5}}{{ - 1}}\) 
B.\(\dfrac{{x + 2}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{2} = \dfrac{z}{4}\)                                      
C.\(\dfrac{{x - 5}}{3} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z - 6}}{7}\)                               
D.\(\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z - 5}}{2}\)

Cho \(\left( {{\Delta _1}} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = t\\z = 4t\end{array} \right.,\,\,\left( {{\Delta _2}} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t'\\y = 4 + 2t'\\z = 1\end{array} \right.\); \(\left( P \right):\,\,y + 2z = 0\). Lập phương trình \(\left( d \right) \subset \left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) cắt cả \(\left( {{\Delta _1}} \right)\) và \(\left( {{\Delta _2}} \right)\).
A.\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3t\\z = 5t\end{array} \right.\)                 
B.\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y =  - 2t\\z = t\end{array} \right.\)                
C.\(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3 + 2t\\z = 5t\end{array} \right.\)                   
D.\(\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - 2t\\y = t\\z = 3 + 6t\end{array} \right.\)

Cho \(\left( \Delta \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 8 + 4t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.,\,\,\left( P \right):\,\,x + y + z - 7 = 0\). Lập phương trình \(\left( {\Delta '} \right)\) là hình chiếu của \(\left( \Delta \right)\) lên \(\left( P \right)\).
A.      \(\dfrac{{x + \dfrac{4}{3}}}{4} = \dfrac{{y - \dfrac{{20}}{3}}}{{ - 5}} = \dfrac{{z - \dfrac{5}{3}}}{1}\)   
B.    \(\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y - 6}}{1} = \dfrac{{z - 7}}{3}\)
C.      \(\dfrac{{x - 5}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{6}\)                                 
D.      \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{{y - 5}}{{13}} = \dfrac{{z - 2}}{2}\)

Cho \(\left( \Delta \right):\,\,\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y + 3}}{2} = \dfrac{{z - 3}}{1},\,\,\left( P \right):\,\,2x + y - 2z + 9 = 0\). Tìm \(M \in \left( \Delta \right)\) để \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = 2\).
A.\(\left[ \begin{array}{l}M\left( {3;5;7} \right)\\M\left( {3;7;1} \right)\end{array} \right.\)       
B.\(\left[ \begin{array}{l}M\left( { - 3;5;7} \right)\\M\left( {3; - 7;1} \right)\end{array} \right.\)            
C.\(\left[ \begin{array}{l}M\left( { - 3; - 5; - 7} \right)\\M\left( { - 3; - 7; - 1} \right)\end{array} \right.\)
D.\(M\left( {3;5;7} \right)\)

Cho \(\left( {{\Delta _1}} \right):\,\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 2}}{1},\,\,\left( {{\Delta _2}} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 1 + t\\z = 3\end{array} \right.\); \(\left( P \right):\,\,7x + y - 4z = 0\). Lập phương trình \(\left( d \right) \bot \left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) cắt cả \(\left( {{\Delta _1}} \right),\,\,\left( {{\Delta _2}} \right)\).
A.\(\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z - 5}}{2}\) 
B.\(\dfrac{{x - 6}}{7} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{3}\) 
C.\(\dfrac{{x - 2}}{7} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 4}}\)
D.\(\dfrac{{x - 2}}{5} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}\)

Trong không gian Oxyz , cho A(1; 1; 0), B(0; 1; 1), và C(2; 2; 1) và mặt phẳng (P): x + 3y -z + 2 =0. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ nhất
A.
B.
C.
D.

Cho \(\left( \Delta \right):\,\,\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y + 3}}{2} = \dfrac{{z - 3}}{1},\,\,\left( P \right):\,\,2x + y - 2z + 9 = 0\). Lập phương trình \(\left( d \right)\) qua \(M\left( {0; - 9;0} \right)\), \(d \subset \left( P \right)\) và \(d\) cắt \(\left( \Delta \right)\).
A.\(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 + 3t\\y =  - 9 + t\\z = 2t\end{array} \right.\)          
B.\(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y =  - 9 + t\\z = 0 + 5t\end{array} \right.\)           
C.\(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y =  - 9 + 2t\\z = t\end{array} \right.\)                 
D.\(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y =  - 9 + 3t\\z = 2t\end{array} \right.\)

Cho \(A\left( { - 4; - 2;4} \right),\,\,\left( \Delta \right):\,\,\dfrac{{x + 3}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 1}}{4}\). \(\left( d \right)\) qua \(A\) và cắt, vuông góc với \(\left( \Delta \right)\) có phương trình là:
A.\(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4 + 5t\\y =  - 2 + t\\z = 4 + 3t\end{array} \right.\)            
B.\(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4 + t\\y =  - 2 + 3t\\z = 4\end{array} \right.\)        
C.\(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4\\y =  - 2\\z = 4 + t\end{array} \right.\)               
D.\(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4 + 3t\\y =  - 2 + 2t\\z = 4 - t\end{array} \right.\)

Cho \(\left( {{\Delta _1}} \right):\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{3} = \dfrac{z}{1},\,\,\left( {{\Delta _2}} \right):\,\,\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{2}\). Khi đó \(\cos \angle \left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right)\).
A.\(\dfrac{7}{{\sqrt {83} }}\)   
B.\(\dfrac{7}{{\sqrt {84} }}\)   
C.\(\dfrac{7}{{\sqrt {82} }}\)   
D.\(\dfrac{1}{4}\)