Ta xét: $( x-y)²≥ 0$
$⇔ x²-2xy+y²≥ 0$
$⇔ x²+2xy+y²≥ 4xy$
$⇔ ( x+y)²≥ 4xy$
$⇔$ $\frac{xy}{x+y}$≤ $\frac{x+y}{4}$
Dấu = xảy ra khi x= y
Áp dụng bđt vừa chứng minh được, ta có:
A= $\frac{ab}{a+b}$+$\frac{bc}{b+c}$+$\frac{ca}{c+a}$
⇔ A ≤ $\frac{a+b}{4}$+$\frac{b+c}{4}$+$\frac{a+c}{4}$
⇔ A ≤ $\frac{a+b+b+c+c+a}{4}$= $\frac{a+b+c}{2}$
⇒ A≤ $\frac{a+b+c}{2}$
Dấu = xảy ra khi a= b= c