Đáp án:
`a+b+c=0=>{(a=-(b+c)),(b=-(a+c)),(c=-(a+b)):}`
Xét các giá trị sau:
`+)a^4=a^2 .a^2=a^2(b+c)^2=a^2(b^2+2bc+c^2)`
`=a^2b^2+2a^2bc+a^2c^2(1)`
`+)b^4=b^2 .b^2=b^2(a+c)^2=b^2(a^2+2ac+c^2)`
`=a^2b^2+2b^2ac+b^2c^2(2)`
`+)c^4=c^2 .c^2=c^2(a+b)^2=c^2(a^2+2ab+b^2)`
`=c^2a^2+2c^2ab+c^2b^2(3)`
Cộng vế với vế của`(1),(2)` và `(3)` ta được:
`a^4+b^4+c^4=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+2(a^2bc+ab^2c+abc^2)`
`=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+2abc(a+b+c)`
`=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(4)`
Từ vế phải của đẳng thức ta có:
`(a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(5)`
Từ `(4)` và `(5)` suy ra:
`a^4+b^4+c^4=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)`
Từ đó suy ra:
`(a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+a^4+b^4+c^4=2(a^4+b^4+c^4)`
`=>` `đpcm`
