Ta có:
\(\text{VT}=1-\frac{2ab^2}{2ab^2+1}+1-\frac{2bc^2}{2bc^2+1}+1-\frac{2ca^2}{2ca^2+1}\)
\(\text{VT}=3-\underbrace{\left( \frac{2ab^2}{2ab^2+1}+\frac{2bc^2}{2bc^2+1}+\frac{2ca^2} {2ca^2+1}\right)}_{N}\) (1)
Áp dụng BĐT Am-Gm:
\(2ab^2+1=ab^2+ab^2+1\geq 3\sqrt[3]{a^2b^4}\)
\(\Rightarrow \frac{2ab^2}{2ab^2+1}\leq \frac{2ab^2}{3\sqrt[3]{a^2b^4}}=\frac{2}{3}\sqrt[3]{ab^2}\)
Tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế, suy ra :
\(N\leq \frac{2}{3}(\sqrt[3]{ab^2}+\sqrt[3]{bc^2}+\sqrt[3]{ca^2})\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt[3]{ab^2}\leq \frac{a+b+b}{3}\); \(\sqrt[3]{bc^2}\leq \frac{b+c+c}{3}; \sqrt[3]{ca^2}\leq \frac{c+a+a}{3}\)
\(\Rightarrow N\leq \frac{2}{3}\left(\frac{a+b+b}{3}+\frac{b+c+c}{3}+\frac{c+a+a}{3}\right)\)
\(\Rightarrow N\leq \frac{2}{3}\left(\frac{a+b+b}{3}+\frac{b+c+c}{3}+\frac{c+a+a}{3}\right)\) (2)
Từ \((1),(2)\Rightarrow \text{VT}\geq 1\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
