Đáp án đúng: D
Phương pháp giải:
Xét biểu thức: \(P - 1;\,\,P + 1\)Giải chi tiết:Với \(a\) là một số thực bất kì, ta có:
+) Xét hiệu:
\(\begin{array}{l}P - 1 = \dfrac{{2a}}{{{a^2} + 1}} - 1 = \dfrac{{2a - {a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - \left( {{a^2} - 2a + 1} \right)}}{{{a^2} + 1}} = \dfrac{{ - {{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{{a^2} + 1}}.\end{array}\)
Ta có:\({\left( {a - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a \in R\).
\( \Rightarrow - {\left( {a - 1} \right)^2} \le 0\) với mọi \(a \in R\).
\( \Rightarrow \dfrac{{ - {{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{{a^2} + 1}} \le 0\) với mọi \(a \in R\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow P - 1 \le 0\\ \Leftrightarrow P \le 1\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Đáp án \(B\) sai và đáp án \(D\) đúng.
+) Xét tổng:
\(\begin{array}{l}P + 1 = \dfrac{{2a}}{{{a^2} + 1}} + 1 = \dfrac{{2a + {a^2} + 1}}{{{a^2} + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {{a^2} + 2a + 1} \right)}}{{{a^2} + 1}} = \dfrac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{{a^2} + 1}}.\end{array}\)
Ta có:\({\left( {a - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a \in R\).
\( \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{{a^2} + 1}} \ge 0\) với mọi \(a \in R\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow P + 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow P \ge - 1\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Đáp án \(A\) và đáp án \(C\) sai.
Chọn D.
