Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
a) \(\Delta BHK = \Delta BHD\)
Vì BK là đường cao của tam giác \(\Delta ABC\) nên \(BK \bot AC\)
Xét hai tam giác vuông \(BHK\) và \(\Delta BHD\) ta có :
\(\angle {B_1} = \angle {B_2}\) (do BH là đường phân giác của góc \(\angle ABK\left( {H \in AC} \right).\))
Cạnh BH chung
\( \Rightarrow \Delta BHK = \Delta BHD\) (cạnh huyền-góc nhọn)
b) Gọi giao điểm của \(DH\) và \(BK\) là \(I\) . Chứng minh : \(IK = AD.\)
Vì \(\Delta BHK = \Delta BHD\)nên \(HK = HD\) (cạnh tương ứng)
Xét \({\Delta _v}ADH;\,\,\,\,\,{\Delta _v}IKH\)
Có: \(\angle DHA = \angle KHI\) (đối đỉnh)
\(HK = HD\)(cmt)
\(\angle ADH = \angle IKH = {90^0}\)
\( \Rightarrow {\Delta _v}ADH = \,\,{\Delta _v}IKH\) (g.c.g)
\(IK = AD\) (cạnh tương ứng)
c) Chứng minh \(DK//AI\)
Trong tam giác \(ABC\) có:
\(\begin{array}{l}AB = AD + DB\\BI = BK + KI\end{array}\)
Mà \(AD = IK\,\) (do \(\Delta ADH = \Delta IKH\left( {cmt} \right)\) )
\(DB = BK\)(do \(\Delta BHK = \Delta BHD\))
\( \Rightarrow AB = BI\)
\( \Rightarrow \Delta ABI\) là tam giác cân tại B. \( \Rightarrow \angle BAI = \angle BIA\)
Trong một tam giác cân, tia phân giác ứng với cạnh đáy chính là đường cao
\( \Rightarrow BH \bot AI\,\,\,\left( 1 \right)\)
Mà \(\Delta BDK\) cũng cân tại B (do \(BD = BK\left( {do\,\Delta BDH = \Delta BKH} \right)\)
\( \Rightarrow BH \bot DK\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) (do BH là đường phân giác góc B)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow DK//AI\) (do cùng vuông góc với \(BH\) )
Vậy \(DK//AI\) (đpcm).
d) Xét tam giác \(HBC\) ta có:
\(BK \bot HC\left( {Gt} \right) \Rightarrow BK\) là đường cao xuất phát từ đỉnh \(B\) của tam giác \(HBC\).
Ta có :
\(\begin{array}{l}DI \bot AB\left( {GT} \right)\\BC \bot AB\left( {gt} \right)\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \angle DIB = \angle KBC\,\left( {so\,le\,trong} \right)\\ \Rightarrow DI//BC\end{array}\)
Mà :
\(\begin{array}{l}\angle C + \angle KBC = {90^0}\\\angle DBI + \angle DIB = {90^0}\\ \Rightarrow \angle C = \angle DBI\\ \Rightarrow \angle {B_1} = \angle {B_2} = \angle {C_1} = \angle {C_2}\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Kéo dài CN cắt BH tại P, ta chứng minh CP là đường cao kẻ từ đỉnh C của tam giác \(HBC\)
Ta có : \(\begin{array}{l}\angle C + \angle KBC = {90^0}\\\angle {C_1} + \angle {C_2} + \angle KBC = {90^0}\end{array}\)
Mà \(\angle {C_2} = \angle {B_2}\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle {C_1} + \angle KBC + \angle {B_2} = \angle BPC = {90^0}\) Hay \(CP \bot CH\)
Trong tam giác \(HBC\) có : CN là đường cao, BN là đường cao.
\( \Rightarrow \) N là trực tâm của \(\Delta HBC\) (đpcm).
