Đáp án:
\[{P_{\min }} = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\]
Giải thích các bước giải:
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\begin{array}{l}
\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {\left( {ax + by} \right)^2}\\
\Leftrightarrow {a^2}{x^2} + {a^2}{y^2} + {b^2}{x^2} + {b^2}{y^2} \ge {a^2}{x^2} + 2axby + {b^2}{y^2}\\
\Leftrightarrow {a^2}{y^2} - 2axby + {b^2}{x^2} \ge 0\\
\Leftrightarrow {\left( {ay - bx} \right)^2} \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)
\end{array}\)
(1) luôn đúng nên ta có BĐT trên luôn đúng
Áp dụng BĐT trên ta có:
\(\begin{array}{l}
\left( {\frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y}} \right)\left( {x + y} \right) \ge {\left( {\frac{a}{{\sqrt x }}.\sqrt x + \frac{b}{{\sqrt y }}.\sqrt y } \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2}\\
\Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array}\)
Áp dụng BĐT (2 ) ta có:
\(\begin{array}{l}
P = \frac{2}{x} + \frac{1}{{2y}} = \frac{2}{x} + \frac{{\frac{1}{2}}}{y} \ge \frac{{{{\left( {\sqrt 2 + \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}}{{x + y}} = 3\\
\Rightarrow {P_{\min }} = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = \frac{1}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)
