Lời giải:
Dễ dàng chứng minh được:
$BCEF$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{EBC}=\widehat{EFC}$
$ACDF$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{CAD}=\widehat{CFD}$
mà $\widehat{EBC}=\widehat{CAD}$ (cùng phụ $\widehat{ACB}$)
nên $\widehat{EFC}=\widehat{CFD}$
$\Rightarrow FC$ là phân giác trong của $\widehat{DFE}$
Ta lại có:
$BF\perp FC\quad (CF\perp AB)$
$\Rightarrow FB$ là phân giác ngoài của $\triangle DEF$
Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được:
$EB,\ EC$ lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của $\triangle DEF$
Khi đó:
Do $FB\cap EB= B$
$\Rightarrow B$ là tâm đường tròn bàng tiếp $\triangle DEF$
Lại có: $BM\perp EF$
$\Rightarrow EM$ là tiếp tuyến của $(B)$ tại $M$
$\Rightarrow 2EM = P_{DEF}$ (tính chất tiếp tuyến đường tròn bàng tiếp)
Tương tự:
$C$ là tâm đường tròn bàng tiếp $\triangle DEF$ và $FN$ là tiếp tuyến tại $N$
$\Rightarrow 2FN = P_{DEF}$
Ta được:
$\quad 2EM + 2FN = 2P_{DEF}$
$\Leftrightarrow EM + FN = EF + DE + DF$
$\Leftrightarrow EF + FM + EF + EN = EF + DE + DF$
$\Leftrightarrow EF + FM + EN = DE + DF$
$\Leftrightarrow MN = DE + DF$
