Đáp án:
$\\$
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔMNH` có :
`MN + NH > MH` `(1)`
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔMPH` có :
`MP + PH > MH` `(2)`
Lấy `(1) + (2)` vế với vế ta được :
`-> MN + NH + MP + PH > MH + MH`
`-> MN + MP + (NH + PH) > 2MH`
`-> MN + MP + NP > 2MH` `(3)`
Do `ΔMNP` cân tại `M` (gt)
`MH` là đường cao (gt)
`-> MH` là đường trung tuyến, đường phân giác
Do $HK//MP$ (gt)
`-> hat{KHN} = hat{P}` (2 góc đồng vị)
mà `hat{N}=hat{P}` (Do `ΔMNP` cân tại `M`)
`-> hat{KHN} = hat{N} (= hat{P})`
`-> ΔNHK` cân tại `K`
`-> NK = HK`
Do $HK//MP$ (gt)
`-> hat{KHM}= hat{HMP}` (2 góc so le trong)
mà `hat{KMH}=hat{HMP}` (Do `MH` là đường phân giác)
`-> hat{KHM} = hat{KMH} (= hat{HMP})`
`-> ΔMKH` cân tại `K`
`-> MK = HK`
mà `NK=HK` (cmt)
`-> MK = NK (= HK)`
`-> K` là trung điểm của `MN`
`-> PK` là đường trung tuyến của `ΔMNP`
Xét `ΔMNP` có :
`PK` là đường trung tuyến (cmt)
`MH` là đường trung tuyến (cmt)
`PK` cắt `MH` tại `G`
`-> G` là trọng tâm của `ΔMNP`
mà `NE` là đường trung tuyến (gt)
`-> NG = 2/3 NE`
`-> 2NE = 3NG`
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔMNE` có :
`MN +ME > NE` `(4)`
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔNEP` có :
`NP + EP >NE` `(5)`
Lấy `(4) + (5)` vế với vế ta được :
`-> MN + ME + EP + NP> NE + NE`
`-> MN + (ME + EP) + NP > 2NE`
`-> MN + MP + NP > 3NG` `(6)`
Lấy `(3) + (6)` vế với vế ta được :
`-> MN + MP + NP + MN + MP + NP > 2MH + 3NG`
`-> (MN+MN) + (MP+MP) + (NP+NP) > 2MH + 3NG`
`-> 2MN + 2MP + 2NP > 2MH + 3NG`
`-> 2 (MN+MP+NP) > 2MH+ 3NG`
`-> MN + MP + NP > MH + 3NG`
mà `P_{ΔMNP} = MN+ MP + NP`
`-> P_{ΔMNP} > MH + 3NG` (đpcm)
