Cho \({\log _2}5 = a\) và \({\log _3}5 = b\). Tính \({\log _{24}}15\) theo a và b.
A. \(\dfrac{{a\left( {1 + 2b} \right)}}{{ab + 3}}\).
B. \(\dfrac{a}{{ab + 1}}\).
C. \(\dfrac{{a\left( {1 + 2b} \right)}}{{ab + 1}}\).
D. \(\dfrac{{a\left( {1 + b} \right)}}{{ab + 3}}\).

Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có ABCD là hình thoi. Hình chiếu của A’ lên (ABCD) là trọng tâm của tam giác ABD. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết \(AB = a,\,\widehat {ABC} = 120^\circ ,\,AA' = a\).
A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\).
B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).
C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).
D. \({a^3}\sqrt 2 \).

Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm các mặt ABC, ABD, ACD, BCD. Biết \(AB = 6a,\,AC = 9a,\,AD = 12a\). Thể tích khối tứ diện MNPQ là:
A. \({a^3}\).
B. \(36{a^3}\).
C. \(108{a^3}\)
D. \(4{a^3}\).

Tìm giá trị cực tiểu của hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 3\).
A. \({y_{CT}} =  - 3\)
B. \({y_{CT}} = 4\).
C. \({y_{CT}} = 3\).
D. \({y_{CT}} =  - 4\).

Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng và tần số không đổi vào hai đầu đoạn mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với tụ điện có điện dung C. Gọi điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tu điện, giữa hai đầu biến trở và hệ số công suất của đoạn mạch khi biến trở có giá trị R1 lần lượt là \({U_{C1}},{\text{ }}{U_{R1}}\) và \(cos{\varphi _1}\) ; khi biến trở có giá trị R2 thì các giá trị tương ứng nói trên là \({U_{C2}},{\text{ }}{U_{R2}}\) và \(cos{\varphi _2}\). Biết \({U_{C1}} = {\text{ }}2{U_{C2}},{\text{ }}{U_{R2}} = {\text{ }}2{U_{R1}}.\). Giá trị của \(cos{\varphi _1}\) và \(cos{\varphi _2}\) là:
A.\(\cos {\varphi _1} = \frac{1}{{\sqrt 3 }},\,\cos {\varphi _2} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)
B.\(\cos {\varphi _1} = \frac{1}{{\sqrt 5 }},\,\cos {\varphi _2} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
C.\(\cos {\varphi _1} = \frac{1}{{\sqrt 5 }},\,\cos {\varphi _2} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)
D.\(\cos {\varphi _1} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }},\,\cos {\varphi _2} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Một hộp giấy dạng hình lăng trụ đứng tam giác đựng 6 quả bóng bàn như nhau có bán kính là 2cm. Các quả bóng trong hộp được xếp thành hai lớp, chúng tiếp xúc với nhau và tiếp xúc với các mặt của hộp giấy. Tính diện tích bìa giấy để làm chiếc hộp (nếp gấp không đáng kể).
A. \(144 + 128\sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right)\).
B. \(128 + 144\sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right)\).
C. \(140 + 128\sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right)\).
D. \(128 + 140\sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right)\).

Số các giá trị nguyên nhỏ hơn 99 của tham số m để phương trình \({\log _5}\left( {24x + m} \right) = {\log _4}\left( {6x} \right)\) có nghiệm là
A. 1302.
B. 1397.
C. 1305.
D. 1395.

Trong số các hình trụ có diện tích toàn phần bằng 24 \(c{m^2}\) thì chiều cao \(h\) của khối trụ có thể tích lớn nhất là:
A. \(h = \sqrt {\dfrac{3}{\pi }} \,\left( {cm} \right)\).
B. \(h = \dfrac{{16}}{{\sqrt \pi  }}\,\left( {cm} \right)\).
C. \(h = \dfrac{4}{{\sqrt \pi  }}\,\left( {cm} \right)\).
D. \(h = \sqrt {\dfrac{6}{\pi }} \,\left( {cm} \right)\)

Cho x, y là hai số không âm thỏa mãn \(x + y = 2\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = {x^3} + 3{x^2} + 3{y^2} - 3x - 5\) là
A. 9.
B. \( - 1\).
C. \( - 2\).
D. 7.

Một hình nón có đỉnh S có bán kính đáy bằng \(a\sqrt 3 \), góc ở đỉnh là \(120^\circ \). Thiết diện qua đỉnh của hình nón là một tam giác. Diện tích lớn nhất \({S_{\max }}\) của thiết diện đó là bao nhiêu?
A. \({S_{\max }} = 2{a^2}\).
B. \({S_{\max }} = 4{a^2}\).
C. \({S_{\max }} = \dfrac{9}{8}{a^2}\).
D. \({S_{\max }} = {a^2}\sqrt 2 \).