Ta có:
\(\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AN} \) nên \(N = {V_{\left( {A,2} \right)}}\left( M \right)\)
Mà \(M \in \left( O \right)\) nên \(N \in \) đường tròn ảnh của \(\left( O \right)\) qua phép vị tự \({V_{\left( {A,2} \right)}}\).
Lại có \({V_{\left( {A,2} \right)}}\left( O \right) = B\) và \(AB = 2AO = 2R\) nênđường tròn ảnh này là \(\left( {B,BA} \right)\).
Hay \(N \in \left( {B,BA} \right)\).
Mà ANBP là hình bình hành nên \(NP\) cắt AB tại trung điểm O của AB.
Hay \(P = {D_O}\left( N \right)\).
Mà \(N \in \left( {B,BA} \right)\) nên P di chuyển trên đường tròn ảnh của \(\left( {B,BA} \right)\) qua phép đối xứng tâm O.
Mà \(A = {D_O}\left( B \right)\) nên ảnh của \(\left( {B,AB} \right)\) qua \({D_O}\) là đường tròn tâm \(A\) bán kính \(AB\).
Vậy \(P \in \left( {A,AB} \right)\).
