Đáp án đúng: D
Phương pháp giải:
Tham số hóa tọa độ điểm I, thay vào biểu thức \(IM + IN\) và đánh giá GTNN của biểu thức.
Giải chi tiết:Ta có : \(\left( d \right):\dfrac{{x - 7}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 9}}{1}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7 + t\\y = 3 - 2t\\z = 9 + t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\)
Điểm \(I \in d \Leftrightarrow I\left( {7 + t;3 - 2t;9 + t} \right)\).
Khi đó ta có :
\(\begin{array}{l}MI = \sqrt {{{\left( {4 + t} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2t} \right)}^2} + {{\left( {8 + t} \right)}^2}} = \sqrt {6{t^2} + 16t + 84} \\NI = \sqrt {{{\left( {3 + t} \right)}^2} + {{\left( { - 2t} \right)}^2} + {{\left( {5 + t} \right)}^2}} = \sqrt {6{t^2} + 16t + 34} \\ \Rightarrow IM + IN = \sqrt {6{t^2} + 16t + 84} + \sqrt {6{t^2} + 16t + 34} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {6\left( {{t^2} + \dfrac{8}{3}t + \dfrac{{16}}{9}} \right) + \dfrac{{220}}{3}} + \sqrt {6\left( {{t^2} + \dfrac{8}{3}t + \dfrac{{16}}{9}} \right) + \dfrac{{70}}{3}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {6{{\left( {t + \dfrac{4}{3}} \right)}^2} + \dfrac{{220}}{3}} + \sqrt {6{{\left( {t + \dfrac{4}{3}} \right)}^2} + \dfrac{{70}}{3}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ge \sqrt {\dfrac{{220}}{3}} + \sqrt {\dfrac{{70}}{3}} \\ \Rightarrow {\left( {IM + IN} \right)_{\min }} = \sqrt {\dfrac{{220}}{3}} + \sqrt {\dfrac{{70}}{3}} \end{array}\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi \(t = - \dfrac{4}{3}\)\( \Rightarrow I\left( {\dfrac{{17}}{3};\dfrac{{17}}{3};\dfrac{{23}}{3}} \right)\) \( \Rightarrow a = b = \dfrac{{17}}{3},c = \dfrac{{23}}{3}\).
Vậy \(S = 2a + b + 3c\)\( = 2.\dfrac{{17}}{3} + \dfrac{{17}}{3} + 3.\dfrac{{23}}{3} = 40\)
Chọn D.
