Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát của CSC có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) là: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).
- Biểu diễn b, c theo a, từ đó tìm cạnh nhỏ nhất để suy ra góc nhỏ nhất và tính cosin góc đó theo công thức: \(\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).
Giải chi tiết:Gọi CSC đã cho có số hạng đầu bằng a và công sai d .
Khi đó \(b = a + d;\,\,c = a + 2d,\,\,p = a + 3d\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{a + b + c}}{2} = a + 3d\\ \Leftrightarrow \dfrac{{a + a + d + a + 2d}}{2} = a + 3d\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3a + 3d}}{2} = a + 3d\\ \Leftrightarrow 3a + 3d = 2a + 6d\\ \Leftrightarrow a = 3d \Rightarrow d = \dfrac{a}{3} > 0\end{array}\)
Do đó a là số hạng nhỏ nhất nên \(\widehat A\) là góc nhỏ nhất.
Lại có
\(\begin{array}{l}b = a + d = a + \dfrac{a}{3} = \dfrac{{4a}}{3}\\c = a + 2d = a + \dfrac{{2a}}{3} = \dfrac{{5a}}{3}\end{array}\)
Áp dụng định lí Co-sin trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{4a}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{5a}}{3}} \right)}^2} - {a^2}}}{{2.\dfrac{{4a}}{3}.\dfrac{{5a}}{3}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{32{a^2}}}{9}:\dfrac{{40{a^2}}}{9} = \dfrac{4}{5}\end{array}\)
Vậy \(\cos A = \dfrac{4}{5}.\)
Chọn A.
