Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:
\(\left| {{z}_{1}}+1-i \right|=2\to \) Tập hợp các điểm biểu diễn \({{z}_{1}}\) là đường tròn tâm \({{I}_{1}}(-1;1)\), bán kính \(R=2\)
\({{z}_{2}}=i{{z}_{1}}\)\(\Rightarrow \left| \frac{{{z}_{2}}}{i}+1-i \right|=2\Leftrightarrow \left| \frac{{{z}_{2}}+i+1}{i} \right|=2\Leftrightarrow \frac{\left| {{z}_{2}}+i+1 \right|}{\left| i \right|}=2\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}+i+1 \right|=2\to \) Tập hợp các điểm biểu diễn \({{z}_{2}}\) là đường tròn tâm \({{I}_{2}}(-1;-1)\), bán kính \(R=2\).
Gọi \({{M}_{1}},\,\,{{M}_{2}}\) lần lượt là điểm biểu diễn \({{z}_{1}},\,\,{{z}_{2}}\)\(\Rightarrow {{M}_{1}}\in \left( {{I}_{1}};R \right),\,\,\,{{M}_{2}}\in \left( {{I}_{2}};R \right)\)
và \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|={{M}_{1}}{{M}_{2}}\).
Mặt khác \({{z}_{2}}=i{{z}_{1}}\) nên giả sử \({{z}_{1}}=a+bi\Rightarrow {{z}_{2}}=-b+ai\Rightarrow {{M}_{1}}\left( a;b \right),\,\,{{M}_{2}}\left( -b;a \right)\Rightarrow \overrightarrow{O{{M}_{1}}}.\overrightarrow{O{{M}_{2}}}=0\Rightarrow O{{M}_{1}}\bot O{{M}_{2}}\)
Dễ thấy, tam giác \(O{{M}_{1}}{{M}_{2}}\) là tam giác vuông cân tại O. Khi đó, để \({{M}_{1}}{{M}_{2}}\)ngắn nhất thì \(O{{M}_{1}}=O{{M}_{2}}\) ngắn nhất
\(\Rightarrow {{M}_{1}},\,\,{{M}_{2}}\) lần lượt trùng với A, B; là giao điểm của \(O{{I}_{1}},\,\,O{{I}_{2}}\) và \(\left( {{I}_{1}};R \right);\,\left( {{I}_{2}};R \right)\,\), (A nằm khác phía \({{I}_{1}}\) so với O, B nằm khác phía \({{I}_{2}}\) so với O).
+) Tìm tọa độ điểm A:
\(A\left( a;b \right)\in \left( {{I}_{1}};R \right)\Rightarrow {{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}=4\)
\(\begin{align} & A\in {{I}_{1}}O\Rightarrow b=-a \\ & \Rightarrow {{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( -a-1 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow {{\left( a+1 \right)}^{2}}=2\Leftrightarrow a=-1\pm \sqrt{2}\Rightarrow a=-1+\sqrt{2} \\ & \Rightarrow A\left( -1+\sqrt{2};1-\sqrt{2} \right) \\ & \Rightarrow OA=\sqrt{{{\left( -1+\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( 1-\sqrt{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{2}\left( \sqrt{2}-1 \right)=2-\sqrt{2} \\ & \Rightarrow AB=\sqrt{2}.OA=2\sqrt{2}-2 \\ & \Rightarrow m=2\sqrt{2}-2. \\\end{align}\)
Chọn: C
