- Đặt ẩn phụ \(t = {\log _2}\left( {f\left( x \right) + 1} \right)\), tìm điều kiện của \(t\). - Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc ba ẩn \(t\). - Tiếp tục đưa phương trình bậc ba về dạng tích. Giải phương trình và tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \(t\) thỏa mãn điều kiện ở trên. - Kết hợp điều kiện đề bài và đếm số giá trị của \(m\) thỏa mãn.Giải chi tiết:Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Với \(x \in \left( { - 1;1} \right)\) thì \(f\left( x \right) \in \left( { - 1;3} \right) \Rightarrow f\left( x \right) + 1 > 0\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\). Ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\log _2^3\left( {f\left( x \right) + 1} \right) - \log _{\sqrt 2 }^2\left( {f\left( x \right) + 1} \right) + \left( {2m - 8} \right){\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt {f\left( x \right) + 1} + 2m = 0\\ \Leftrightarrow \log _2^3\left( {f\left( x \right) + 1} \right) - 4\log _2^2\left( {f\left( x \right) + 1} \right) - \frac{1}{2}\left( {2m - 8} \right){\log _2}\left( {f\left( x \right) + 1} \right) + 2m = 0\end{array}\) Đặt \(t = {\log _2}\left( {f\left( x \right) + 1} \right)\), vì \(f\left( x \right) + 1 \in \left( {0;4} \right)\) nên \(t \in \left( { - \infty ;2} \right)\). Phương trình trở thành: \(\begin{array}{l}{t^3} - 4{t^2} - \left( {m - 4} \right)t + 2m = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {{t^2} - 2t - m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\,\,\,\left( {ktm} \right)\\{t^2} - 2t = m\end{array} \right.\end{array}\) Để phương trình ban đầu có nghiệm \(x \in \left( { - 1;1} \right)\) thì phương trình \({t^2} - 2t = m\) có nghiệm trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\). Ta có bảng biến thiên hàm số \({t^2} - 2t\) trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\) như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình \({t^2} - 2t = m\) có nghiệm trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) khi và chỉ khi \(m \ge - 1\). Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow m \in \left[ { - 1;5} \right]\). Vậy có 7 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu. Chọn A.
