Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm cấp 2 liên tục trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\), \(f\left( 0 \right) = 1,\)\(f\left( 2 \right) = {e^4}\) và \(f(x) > 0,\)\({\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} - f\left( x \right).f''\left( x \right) + {\left[ {f'\left( x \right)

pcclassgroup

2 năm trước

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm cấp 2 liên tục trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\), \(f\left( 0 \right) = 1,\)\(f\left( 2 \right) = {e^4}\) và \(f(x) > 0,\)\({\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} - f\left( x \right).f''\left( x \right) + {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = 0,\,\,\,\forall x \in \left[ {0;2} \right]\). Tính \(f\left( 1 \right).\)
A.\({e^{\dfrac{3}{4}}}\)
B.\({e^{\dfrac{3}{2}}}\)
C.\(e\)
D.\({e^2}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 20 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

trantoan1610risk

Đáp án đúng: B

Phương pháp giải:
- Sử dụng quy tắc tính nguyên hàm của thương: \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).
- Sử dụng phương pháp nguyên hàm hai vế.
Giải chi tiết:\(\begin{array}{l}{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} - f\left( x \right).f''\left( x \right) + {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = 0\\ \Leftrightarrow f\left( x \right).f''\left( x \right) - {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( x \right).f''\left( x \right) - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} = 1\,\,\,\,\left( {do\,\,\,f\left( x \right) > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right]' = 1\\ \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = - \int {1dx = } x + C\\ \Rightarrow \int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} = \int {\left( {x + C} \right)dx} \\ \Rightarrow \ln f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} + Cx + D\,\,\left( {do\,\,f\left( x \right) > 0} \right)\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow \ln f\left( 0 \right) = D = 0\\f\left( 2 \right) = {e^4} \Rightarrow \ln f\left( 2 \right) = \dfrac{{{2^2}}}{2} + 2C + D\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \ln {e^4} = 2 + 2C \Leftrightarrow C = 1\end{array}\)
Khi đó ta có: \(\ln f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} + x \Rightarrow \ln f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2} \Rightarrow f\left( 1 \right) = {e^{\frac{3}{2}}}.\)
Chọn B.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{f\left( x \right) - 1}}\) là
A.\(3\)
B.\(6\)
C.\(4\)
D.\(5\)

Cho hình chóp O.ABC có \(OA = OB = OC = a,\)\(\angle AOB = {60^0},\)\(\angle BOC = {90^0},\)\(\angle AOC = {120^0}\). Gọi \(S\) là trung điểm cạnh \(OB\). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) là:
A.\(\dfrac{{a\sqrt 7 }}{4}\)
B.\(\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
C.\(\dfrac{{a\sqrt 5 }}{4}\)
D.\(\dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}\)

Có bao nhiêu số nguyên \(m \in \left[ { - 1;2020} \right]\)để hàm số \(y = \dfrac{{m\cos x + 1}}{{\cos x + 2m}}\)nghịch biến trên khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2}} \right)\)?
A.\(2021\)
B.\(2020\)
C.\(1008\)
D.\(1009\)

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = 1,\) \(AC = 2,\) \(AA' = 3\) và \(\angle BAC = {120^o}\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là các điểm trên cạnh \(BB',\,\,CC'\) sao cho \(BM = 3B'M\), \(CN = 2C'N\). Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BN} \right)\).
A.\(\dfrac{{9\sqrt {138} }}{{46}}\)
B.\(\dfrac{{9\sqrt {138} }}{{184}}\)
C.\(\dfrac{{3\sqrt {138} }}{{46}}\)
D.\(\dfrac{{9\sqrt 3 }}{{16\sqrt {46} }}\)

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(K\) là trung điểm của \(SC\). Mặt phẳng qua \(AK\) cắt các cạnh \(SB,\,\,SD\) lần lượt tại \(M,\,\,N\). Gọi \({V_1},\,\,V\) thứ tự là thể tích của khối chóp \(S.AMKN\) và khối chóp \(S.ABCD\). Giá trị nhỏ nhất của tỷ số \(\dfrac{{{V_1}}}{V}\) bằng
A.\(\dfrac{1}{2}\)
B.\(\dfrac{2}{3}\)
C.\(\dfrac{3}{8}\)
D.\(\dfrac{1}{3}\)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({3^{1 - x}} + {3^x} + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt
A.\(m > \sqrt 3 \)
B.\(m < - \sqrt 3 \)
C.\(m < - 2\sqrt 3 \)
D.\(m > 2\sqrt 3 \)

Cho tập \(A = \left\{ {1;2;...;10} \right\}\). Chọn ngẫu nhiên ba số khác nhau từ tập \(A\). Xác suất để ba số được chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp là:
A.\(\dfrac{{11}}{{15}}\)
B.\(\dfrac{1}{5}\)
C.\(\dfrac{7}{{15}}\)
D.\(\dfrac{8}{{15}}\)

Cho phương trình:
\({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2m - 1 = 0\) với \(m\) là tham số.
a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)
b) Tìm \(m\) để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)thỏa mãn điểu kiện:
\(x_1^2{x_2} + {x_1}x_2^2 + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 0\)
A.\(b)\,\,m = - 1\)
B.\(b)\,\,m = 1\)
C.\(b)\,\,m = 2\)
D.\(b)\,\,m = 0\)

Đặt điện áp \(u=220\sqrt{2}.\cos 100\pi t\,\,\left( V \right)\)vào hai đầu đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB mắc nối tiếp. Đoạn AM gồm điện trở thuần R mắc nối tiếp với cuộn cảm thuần L, đoạn MB chỉ có tụ điện C. Biết điện áp giữa hai đầu đoạn mạch AM và điện áp giữa hai đầu đoạn mạch MB có giá trị hiệu dụng bằng nhau nhưng lệch pha nhau \(\frac{2\pi }{3}\). Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch AM bằng
A.\(220\sqrt{2}V\)
B.\(\frac{220}{\sqrt{3}}V\)
C.\(220V\)
D.\(110V\)

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng?
A.Nếu tứ giác là hình thang cân thì tứ giác đó có hai đường chéo bằng nhau.
B.Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có các góc tương ứng bằng nhau.
C.Nếu một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất một góc (trong) nhỏ hơn \({60^0}\).
D.Nếu mỗi số tự nhiên \(a,\,\,b\) chia hết cho 11 thì tổng hai số \(a\) và \(b\) chia hết cho 11.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến