Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:

- Xét tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x.f\left( {{{\cos }^2}x} \right)dx} \), đổi biến \(t = {\cos ^2}x\). Tính được \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \).
- Sử dụng tính chất tích phân \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \), phân tích \(\int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( {1 - x} \right) - 3{x^2} + 5} \right]dx} \)
- Tiếp tục đổi biến hoặc đưa biến vào vi phân, biểu diễn \(\int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( {1 - x} \right) - 3{x^2} + 5} \right]dx} \) theo \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) và tính.Giải chi tiết:Xét tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x.f\left( {{{\cos }^2}x} \right)dx} \).
Đặt \(t = {\cos ^2}x \Rightarrow dt = 2\cos x.\left( { - \sin x} \right)dx =  - \sin 2xdx\).
Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 1,\,\,x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = 0\).
Khi đó ta có \(I =  - \int\limits_1^0 {f\left( t \right)dt}  = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = 1\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( {1 - x} \right) - 3{x^2} + 5} \right]dx} \\ = 2\int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)dx}  + \int\limits_0^1 {\left( { - 3{x^2} + 5} \right)dx} \\ =  - 2\int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)d\left( {1 - x} \right)}  + 4\\ =  - 2\int\limits_1^0 {f\left( u \right)du}  + 4\\ = 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  + 4\\ = 2.1 + 4 = 6\end{array}\)
Chọn D