Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện \(x.f\left( {{x^3}} \right) + f\left( {{x^2} - 1} \right) = {e^{{x^2}}}\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó giá trị của \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} \) là:A.\(3\left( {1

maxtiger

2 năm trước

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện \(x.f\left( {{x^3}} \right) + f\left( {{x^2} - 1} \right) = {e^{{x^2}}}\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó giá trị của \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} \) là:
A.\(3\left( {1 - e} \right)\)
B.\(3e\)
C.\(0\)
D.\(3\left( {e - 1} \right)\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 22 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

honghuea1k44cva

Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:
- Nhân cả 2 vế với x.
- Lấy tích phân tư -1 đến 0 hai vế.
- Tích tích phân bằng phương pháp đổi biến.
- Sử dụng tính chất không phụ thuộc vào biến của tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {f\left( u \right)du} = \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt} ...\)
Giải chi tiết:Ta có: \(x.f\left( {{x^3}} \right) + f\left( {{x^2} - 1} \right) = {e^{{x^2}}}\) \( \Leftrightarrow {x^2}.f\left( {{x^3}} \right) + xf\left( {{x^2} - 1} \right) = x{e^{{x^2}}}\).
Lấy tích phân tư -1 đến 0 hai vế phương trình ta có:
\(\int\limits_{ - 1}^0 {{x^2}.f\left( {{x^3}} \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^0 {xf\left( {{x^2} - 1} \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {x{e^{{x^2}}}dx} \,\,\left( * \right)\).
Xét \({I_1} = \int\limits_{ - 1}^0 {{x^2}.f\left( {{x^3}} \right)dx} \).
Đặt \(t = {x^3} \Rightarrow dt = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = \dfrac{{dt}}{3}\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow t = - 1\\x = 0 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\), khi đó ta có: \({I_1} = \dfrac{1}{3}\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( t \right)dt} = \dfrac{1}{3}\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} \).
Xét \({I_2} = \int\limits_{ - 1}^0 {xf\left( {{x^2} - 1} \right)dx} \).
Đặt \(u = {x^2} - 1 \Rightarrow du = 2xdx \Rightarrow xdx = \dfrac{1}{2}du\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow u = 0\\x = 0 \Rightarrow u = - 1\end{array} \right.\), khi đó ta có \({I_2} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{ - 1} {f\left( u \right)du} = - \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} \).
Xét \({I_3} = \int\limits_{ - 1}^0 {x{e^{{x^2}}}dx} \)
Đặt \(v = {x^2} \Rightarrow dv = 2xdx \Rightarrow xdx = \dfrac{1}{2}dv\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow v = 1\\x = 0 \Rightarrow v = 0\end{array} \right.\), khi đó ta có \({I_3} = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^0 {{e^v}dv} = \dfrac{1}{2}\left. {{e^v}} \right|_1^0 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{e}{2} = \dfrac{{1 - e}}{2}\).
Thay tất cả vào (*) ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{3}\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} - \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{{1 - e}}{2}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{6}\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{{1 - e}}{2}\\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} = 3\left( {e - 1} \right)\end{array}\)
Chọn D.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Số điểm cực tiểu của hàm số \(y = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)...\left( {x - 100} \right)\) bằng:
A.\(45\)
B.\(49\)
C.\(44\)
D.\(100\)

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn \(\sqrt {\log x} + \sqrt {\log y} + \log \sqrt x + \log \sqrt y = 100\) và \(\sqrt {\log x} \), \(\sqrt {\log y} \), \(\log \sqrt x \), \(\log \sqrt y \) là các số nguyên dương. Khi đó kết quả xy bằng:
A.\({10^{200}}\)
B.\({10^{100}}\)
C.\({10^{164}}\)
D.\({10^{144}}\)

Hòa tan hoàn toàn 3,22 g hỗn hợp Zn, Mg, Fe bằng một lượng vừa đủ dung dịch H2SO4 loãng, thấy thoát ra 1,344 lít khí (đktc) và dung dịch chứa m gam muối. Giá trị của m là:
A.9,52.
B.10,27.
C.8,98.
D.7,25.

Chọn câu Sai. Với điều kiện các phân thức có nghĩa thì
A.\(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = \frac{{x + y + z}}{{a + b + c}}\)
B.\(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = \frac{{x - y - z}}{{a - b - c}}\)
C.\(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = \frac{{x - y + z}}{{a - b + c}}\)
D.\(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = \frac{{x + y - z}}{{a - b + c}}\)

Cho \(\frac{x}{2} = \frac{y}{5}\) và \(xy = 10\). Tính \(x - y\) biết \(x > 0;y > 0.\)
A.\( - 3\)
B.\(3\)
C.\(8\)
D.\( - 8\)

Biết \(\frac{x}{y} = \frac{9}{{11}}\) và \(x + y = 60\). Hai số \(x;y\) lần lượt là:
A.\(27;\,33\)
B.\(33;27\)
C.\(27;44\)
D.\(27;34\)

Hòa tan hoàn toàn 42,15 g (Fe2O3, MgO, ZnO) trong 300 ml dung dịch H2SO4 0,15 M (vừa đủ). Sau phản ứng cô cạn dung dịch, khối lượng muối khan thu được là:
A.45,75 gam
B.40,75 gam.
C.46,155 gam.
D.45,55 gam.

Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{{\log }_4}\left( {{{\log }_{\frac{1}{4}}}\left( {{{\log }_{16}}\left( {{{\log }_{\frac{1}{{16}}}}x} \right)} \right)} \right)} \right)\) là một khoảng có độ dài n/m, với m và n là các số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau. Khi đó \(m-n\) bằng:
A.\(-240 \)
B.\(271\)
C.\(241\)
D.\(-241\)

Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) là trung điểm của AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt dáy bằng \({60^0}\). Khoảng cách giữa BB’ và A’C là:
A.\(\dfrac{{a\sqrt {13} }}{{39}}\)
B.\(\dfrac{{3a\sqrt {13} }}{{13}}\)
C.\(\dfrac{{2a\sqrt {13} }}{{13}}\)
D.\(\dfrac{{a\sqrt {13} }}{{13}}\)

Cho hình thang ABCD (AB//CD) biết AB = 5, BC = 3, CD = 10, AD = 4. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang ABCD (AB // CD) quanh trục AD bằng:
A.\(128\pi \)
B.\(84\pi \)
C.\(112\pi \)
D.\(90\pi \)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến