Đáp án đúng: B

Phương pháp giải:

- Lập BBT của hàm số \(u\left( x \right) = \dfrac{{x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\), xác định sự tương ứng nghiệm \(x \leftrightarrow u\left( x \right)\).
- Đặt \(t = u\left( x \right)\). Biện luận để phương trình \(f\left( t \right) = m\) có đúng 3 nghiệm \(x\) phân biệt thì cần có nghiệm \(t\) thỏa mãn điều kiện gì?
- Dựa vào đồ thị hàm số tìm \(m\) để phương trình có nghiệm \(t\) thỏa mãn điều kiện vừa biện luận ở trên.Giải chi tiết:Xét hàm số \(u\left( x \right) = \dfrac{{x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\) ta có
\(\begin{array}{l}u'\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 3}  - \left( {x + 3} \right).\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}}}{{{x^2} + 3}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{x^2} + 3 - {x^2} - 3x}}{{\left( {{x^2} + 3} \right)\sqrt {{x^2} + 3} }} = \dfrac{{3 - 3x}}{{\left( {{x^2} + 3} \right)\sqrt {{x^2} + 3} }}\\u'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)
Ta có BBT:

Đặt \(t = u\left( x \right)\), phương trình \(f\left( {u\left( x \right)} \right) = m \Leftrightarrow f\left( t \right) = m\).
Do đó để phương trình \(f\left( t \right) = m\) có đúng 3 nghiệm \(x\) phân biệt thì cần phải có 2 nghiệm \(t\) phân biệt thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} \in \left( { - 1;1} \right) \cup \left\{ 2 \right\}\\{t_2} \in \left( {1;2} \right)\end{array} \right.\,\,\,\left( * \right)\).
Dựa vào đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) ta thấy (*) \( \Rightarrow m \in \left( { - 3;0} \right]\).
Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0; - 1; - 2} \right\}\).
Vậy có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn B.