Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:

- Xét hàm đặc trưng, rút \(y\) theo \(x\).- Thế vào biểu thức \(\dfrac{4}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}}\), sử dụng: Biểu thức \(a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a > 0} \right)\) đạt GTNN tại \(x =  - \dfrac{b}{{2a}}\). Từ đó tìm \(x,\,\,y\)Giải chi tiết:Với \(x,\,\,y > 0\) ta có:\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{x + y}}{{10}} + \log \left( {\dfrac{1}{{2x}} + \dfrac{1}{{2y}}} \right) = 1 + 2xy\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{10}} + \log \dfrac{{x + y}}{{2xy}} = 1 + 2xy\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{10}} + \log \left( {x + y} \right) - \log \left( {2xy} \right) = 1 + 2xy\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{10}} + \log \left( {x + y} \right) - 1 = \log \left( {2xy} \right) + 2xy\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{10}} + \log \dfrac{{x + y}}{{10}} = \log \left( {2xy} \right) + 2xy\,\,\left( * \right)\end{array}\)Xét hàm số \(f\left( t \right) = \log t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 10}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\), nên hàm số \(y = f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{10}} = 2xy \Leftrightarrow x + y = 20xy \Rightarrow y = \dfrac{x}{{20x - 1}}\).Ta có:\(P = \dfrac{4}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = \dfrac{4}{{{x^2}}} + \dfrac{{{{\left( {20x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}} = \dfrac{{400{x^2} - 40x + 5}}{{{x^2}}} = 400 - \dfrac{{40}}{x} + \dfrac{5}{{{x^2}}}\).Hàm số đạt GTNN khi \(\dfrac{1}{x} = \dfrac{{40}}{{2.5}} = 4 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\,\,\left( {tm} \right)\).Khi đó \({P_{\min }}\) khi \(x = \dfrac{1}{4},\,\,y = \dfrac{1}{{16}}\).Vậy \(xy = \dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{{16}} = \dfrac{1}{{64}}\).