- Từ giả thiết\(\left| {z + i} \right| = 2\) suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\). - Từ giả thiết \({\left( {z - 2} \right)^4}\) là số thực chứng minh hoặc \(z - 2\) là số thực, hoặc \(z - 2\) là số thuần ảo, hoặc \(z - 2\) có phần thực bằng cộng trừ phần ảo. - Sử dụng phương pháp hình học.Giải chi tiết:Vì \(\left| {z + i} \right| = 2 \Rightarrow \left| {z - \left( { - i} \right)} \right| = 2\) nên tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn tâm \(I\left( {0; - 1} \right)\), bán kính \(R = 2\). Gọi \(z - 2 = x + yi\) ta có: \(\begin{array}{l}{\left( {z - 2} \right)^4} = {\left( {x + yi} \right)^4} = {\left( {{x^2} - {y^2} + 2xyi} \right)^2}\\ = {\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2} + 4xy\left( {{x^2} - {y^2}} \right)i - 4{x^2}{y^2}\\ = {x^4} - 8{x^2}{y^2} + {y^4} + 4xy\left( {{x^2} - {y^2}} \right)i\end{array}\). Vì \({\left( {z - 2} \right)^4}\) là số thực nên \(4xy\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\\left| x \right| = \left| y \right|\end{array} \right.\). TH1: \(x = 0 \Rightarrow z - 2 = yi \Leftrightarrow z = 2 + yi\) \( \Rightarrow \) tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng \(x = 2\) trừ điểm \(\left( {2;0} \right)\). TH2: \(y = 0 \Rightarrow z - 2 = x \Leftrightarrow z = x + 2\) \( \Rightarrow \) tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng \(y = 0\) trừ điểm \(\left( { - 2;0} \right)\). TH3: \(\left| x \right| = \left| y \right| \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y \Rightarrow z - 2 = x + xi \Rightarrow z = x + 2 + xi\\x = - y \Rightarrow z - 2 = x - xi \Rightarrow z = x + 2 - xi\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng \(\left[ \begin{array}{l}y = x - 2\\y = - x + 2\end{array} \right.\) trừ điểm \(\left( {0; - 2} \right),\,\,\left( {2;0} \right),\,\,\left( {0;2} \right),\,\,\left( { - 2;0} \right)\). Ta có hình vẽ:
Vậy có 5 số phức \(z\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.
