Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
- Chuyển vế, chia cả 2 vế cho \({\sin ^2}x\).- Lấy nguyên hàm hai vế, từ đó tìm hàm \(f\left( x \right)\).- Sử dụng giả thiết \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 1\) tìm hằng số \(C\), từ đó tìm \(f\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right)\).- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b,\,\,c\) và tính tổng \(a + b + c\).Giải chi tiết:Theo bài ra ta có:\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right)\sin x = x + f\left( x \right)\cos x\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right)\sin x - f\left( x \right)\cos x = x\\ \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)\sin x - f\left( x \right).\left( {\sin x} \right)'}}{{{{\sin }^2}x}} = \dfrac{x}{{{{\sin }^2}x}}\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{\sin x}}} \right)' = \dfrac{x}{{{{\sin }^2}x}}\end{array}\)Lấy nguyên hàm hai vế ta có:\(\int {\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{\sin x}}} \right)'dx} = \int {\dfrac{x}{{{{\sin }^2}x}}dx} \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( x \right)}}{{\sin x}} = \int {\dfrac{x}{{{{\sin }^2}x}}dx} \).Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \dfrac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \cot x\end{array} \right.\).\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\dfrac{x}{{{{\sin }^2}x}}dx} = - x\cot x + \int {\cot xdx} = - x\cot x + \int {\dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}dx} \\ = - x\cot x + \int {\dfrac{{d\left( {\sin x} \right)}}{{\sin x}}} = - x\cot x + \ln \left| {\sin x} \right| + C\end{array}\)\( \Rightarrow \dfrac{{f\left( x \right)}}{{\sin x}} = - x\cot x + \ln \left| {\sin x} \right| + C \Rightarrow f\left( x \right) = \sin x\left[ { - x\cot x + \ln \left| {\sin x} \right| + C} \right]\)Vì \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 1\) nên \(1 = \sin \dfrac{\pi }{2}\left[ { - \dfrac{\pi }{2}\cot \dfrac{\pi }{2} + \ln \left| {\sin \dfrac{\pi }{2}} \right| + C} \right] \Leftrightarrow 1 = 1.\left( { - \dfrac{\pi }{2}.0 + \ln 1 + C} \right) \Leftrightarrow C = 1\).\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right) = \sin x\left[ { - x\cot x + \ln \left| {\sin x} \right| + 1} \right]\\ \Rightarrow f\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{6}\left[ { - \dfrac{\pi }{6}.\cot \dfrac{\pi }{6} + \ln \left| {\sin \dfrac{\pi }{6}} \right| + 1} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left[ { - \dfrac{\pi }{6}.\sqrt 3 + \ln \dfrac{1}{2} + 1} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{12}}\left( {6 - 6\ln 2 - \pi \sqrt 3 } \right)\\ \Rightarrow a = 6,\,\,b = - 6,\,\,c = - 1\end{array}\)Vậy \(a + b + c = 6 - 6 - 1 = - 1\).
