Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{2x - 1}}\), có đồ thị \(\left( H \right)\). Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là hai điểm phân biệt thuộc \(\left( H \right)\) sao cho tiếp tuyến của \(\left( H \right)\) tại \(A,\,\,B\) song song với nhau. T

builuongtrong

2 năm trước

Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{2x - 1}}\), có đồ thị \(\left( H \right)\). Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là hai điểm phân biệt thuộc \(\left( H \right)\) sao cho tiếp tuyến của \(\left( H \right)\) tại \(A,\,\,B\) song song với nhau. Tìm độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng \(AB\).
A.\(3\)
B.\(3\sqrt 2 \)
C.\(\sqrt 6 \)
D.\(6\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 10 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

hl0391

Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:
- Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(k = f'\left( {{x_0}} \right)\).
- Hai đường thẳng song song với nhau thì có cùng hệ số góc.
- Tính độ dài đoạn thẳng AB: \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} \).
- Áp dụng BĐT Cô-si: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \,\,\left( {a,\,\,b \ge 0} \right)\).
Giải chi tiết:TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{1}{2}} \right\}\). Ta có \(y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\).
Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(A,\,\,B\) của đồ thị hàm số lần lượt là \({k_1} = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {2{x_1} - 1} \right)}^2}}}\), \({k_2} = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {2{x_2} - 1} \right)}^2}}}\).
Vì tiếp tuyến tại \(A,\,\,B\) song song với nhau nên \({k_1} = {k_2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {2{x_1} - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {2{x_2} - 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {\left( {2{x_1} - 1} \right)^2} = {\left( {2{x_2} - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{x_1} - 1 = 2{x_2} - 1\\2{x_1} - 1 = - 2{x_2} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\,\,\,\left( {ktm} \right)\\{x_1} + {x_2} = 1\end{array} \right.\end{array}\)
Vì \(A,\,\,B \in \left( H \right)\) nên \({y_1} = \dfrac{{{x_1} + 1}}{{2{x_1} - 1}},\,\,\,{y_2} = \dfrac{{{x_2} + 1}}{{2{x_2} - 1}}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}A{B^2} = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {{y_2} - {y_1}} \right)^2}\\A{B^2} = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{x_2} + 1}}{{2{x_2} - 1}} - \dfrac{{{x_1} + 1}}{{2{x_1} - 1}}} \right)^2}\\A{B^2} = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{2{x_1}{x_2} - {x_2} + 2{x_1} - 1 - 2{x_1}{x_2} - 2{x_2} + {x_1} + 1}}{{\left( {2{x_1} - 1} \right)\left( {2{x_2} - 1} \right)}}} \right)^2}\\A{B^2} = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{3{x_1} - 3{x_2}}}{{4{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}} \right)^2}\\A{B^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} + \dfrac{{9\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right]}}{{{{\left( {4{x_1}{x_2} - 2.1 + 1} \right)}^2}}}\\A{B^2} = 1 - 4{x_1}{x_2} + \dfrac{{9\left( {1 - 4{x_1}{x_2}} \right)}}{{{{\left( {4{x_1}{x_2} - 1} \right)}^2}}}\\A{B^2} = 1 - 4{x_1}{x_2} + \dfrac{9}{{1 - 4{x_1}{x_2}}}\end{array}\)
Dễ thấy \(1 - 4{x_1}{x_2} > 0\) vì nếu \(1 - 4{x_1}{x_2} < 0\) thì \(\dfrac{9}{{1 - 4{x_1}{x_2}}} < 0\), khi đó \(A{B^2} < 0\) (Vô lí).
Khi đó áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(A{B^2} \ge 2\sqrt {\left( {1 - 4{x_1}{x_2}} \right).\dfrac{9}{{1 - 4{x_1}{x_2}}}} = 6\) \( \Rightarrow \) \(AB \ge \sqrt 6 \).
Vậy \(A{B_{\min }} = \sqrt 6 \).
Chọn C.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho hình chóp \(S.ABC\) có cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Khẳng định nào sau đây đủng?
A.\(AB \bot \left( {SBC} \right)\)
B.\(BC \bot \left( {SAB} \right)\)
C.\(SA \bot \left( {SBC} \right)\)
D.\(AC \bot \left( {SAB} \right)\)

Tính \(I = \lim \dfrac{{{{\left( {2 - 3n} \right)}^2}\left( {n - 4} \right)}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^3}}}\).
A.\(I = 9\)
B.\(I = - 9\)
C.\(I = - 3\)
D.\(I = 3\)

Cho cấp số cộng là dãy số tăng có 3 số hạng. Biết tổng các số hạng bằng 12, tích của chúng bằng 28, Công sai của cấp số cộng bằng:
A.\(2\)
B.\(4\)
C.\(3\)
D.\(1\)

Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?
A.\(\lim \dfrac{{n - 6{n^3}}}{{4{n^2} + 9}}\)
B.\(\lim \dfrac{{3{n^2} + n + 1}}{{\sqrt {{n^4} + 2{n^2}} }}\)
C.\(\lim \dfrac{{{n^2} - 4{n^3}}}{{5{n^3} + 7}}\)
D.\(\lim \dfrac{{n + 4}}{{3{n^2} + 5n}}\)

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, \(SA = a\sqrt 2 \). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên các cạnh \(SB,\,\,SD\). Góc giữa mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) và đường thẳng \(SB\) bằng:
A.\({45^0}\)
B.\({120^0}\)
C.\({90^0}\)
D.\({60^0}\)

Cho khối lập phương có thể tích bằng V. Thể tích của khối lập phương có cạnh bằng một nửa cạnh của khối lập phương đã cho bằng:
A.\(\dfrac{V}{2}\)
B.\(\dfrac{V}{4}\)
C.\(\dfrac{V}{8}\)
D.\(\dfrac{V}{{16}}\)

Cho \(a\) và \(b\) là các số thực thoả mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^2} + ax + b}}{{x + 1}} = 3\). Tính \(a + b\).
A.\(9\)
B.\(6\)
C.\(8\)
D.\(7\)

Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} + \left( {2m + 1} \right){x^2} - mx - 4\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(y' \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
A.\(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ { - \dfrac{1}{4}; + \infty } \right)\)
B.\(m \in \left[ { - 1;\dfrac{1}{4}} \right]\)
C.\(m \in \left[ { - 1; - \dfrac{1}{4}} \right]\)
D.\(m \in \left( { - 1; - \dfrac{1}{4}} \right)\)

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ bằng 2 có phương trình là \(y = 3x - 3\) thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^2}f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ bằng 2 có phương trình nào trong các phương trình sau:
A.\(y = 12x + 2\)
B.\(y = 24x + 40\)
C.\(y = 12x - 2\)
D.\(y = 24x - 36\)

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3x - 2\,\,\,khi\,\,x < 1\\{x^2} + 4\,\,\,khi\,\,x \ge 1\end{array} \right.\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A.Hàm số liên tục trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\).
B.
C.Hàm số liên tục tại điểm \(x = 1\).
D.Hàm số liên tục trên \(\left( { - \infty ;1} \right]\).

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến