Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:

- Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(g\left( x \right) \ge m\) có nghiệm \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) \( \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)} g\left( x \right)\).
- Lập luận để chứng minh hàm \(g\left( x \right)\) đơn điệu trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) và suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)} g\left( x \right)\).Giải chi tiết:Ta có:
\(f\left( x \right) > {e^{\cos x}} + m\) có nghiệm \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow f\left( x \right) - {e^{\cos x}} \ge m\) có nghiệm \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)
Đặt \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - {e^{\cos x}}\) \( \Rightarrow g\left( x \right) \ge m\) có nghiệm \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).
\( \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)} g\left( x \right)\).
Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - {e^{\cos x}}\) với \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) ta có: \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) + \sin x.{e^{\cos x}}\).
Với \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) ta có \(\sin x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow \sin x.{e^{\cos x}} > 0\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).
Dựa vào BBT ta thấy \(f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).
Do đó \(g'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\).
\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]} g\left( x \right) = g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) - e\).
\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)} g\left( x \right) > \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]} g\left( x \right) = f\left( 0 \right) - e\).
Vậy \(m \le f\left( 0 \right) - e\).
Chọn D