Đáp án đúng: C
Phương pháp giải:
+ Gọi \(M\left( {m;0} \right)\) trục hoành.
+ PTĐT \(d\) đi qua \(M\left( {m;0} \right)\) và có hệ số góc \(k\).
+ \(d\) tiếp xúc \(\left( C \right) \Leftrightarrow \) hệ pt sau phải có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\end{array} \right.\)
+ Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, áp dụng định lí Vi-ét.
Giải chi tiết:+ Gọi \(M\left( {m;0} \right)\) trục hoành.
+ PTĐT \(d\) đi qua \(M\left( {m;0} \right)\) và có hệ số góc \(k\) là: \(y = k\left( {x - m} \right)\)
+ \(d\) tiếp xúc \(\left( C \right) \Leftrightarrow \) hệ pt sau phải có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3{x^2} = k\left( {x - m} \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3{x^2} - 6x = k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Thế \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được:
\(\begin{array}{l}{x^3} - 3{x^2} = \left( {3{x^2} - 6x} \right)\left( {x - m} \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} = 3{x^3} - 6{x^2} - 3m{x^2} + 6mx\\ \Leftrightarrow 2{x^3} - \left( {3 + 3m} \right){x^2} + 6mx = 0\\ \Leftrightarrow x\left[ {2{x^2} - \left( {3 + 3m} \right)x + 6m} \right] = 0\,\,\,\,\left( 3 \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\g\left( x \right) = 2{x^2} - \left( {3 + 3m} \right)x + 6m = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)
+ \(x = 0 \Rightarrow k = 0 \Rightarrow PTTT:\,\,y = 0\)
Lý do: Do không có tiếp tuyến nào của \(\left( C \right)\) vuông góc với đường thẳng \(y = 0\) nên để thoả mãn yêu cầu bài toán ta cần phương trình \(\left( * \right)\) phải có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};\,\,{x_2}\) và các tiếp tuyến tại \({x_1};\,\,{x_2}\) vuông góc.
Xét \(g\left( x \right) = 2{x^2} - \left( {3 + 3m} \right)x + 6m = 0\,\,\,\left( * \right)\)
+ \(\left( * \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow {\left( {3m + 3} \right)^2} - 48 > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{ - 3 + 4\sqrt 3 }}{3}\\m < \dfrac{{ - 3 - 4\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\,\,\,\left( {**} \right)\)
+ Theo Vi-et, ta có: \({x_1} + {x_2} = \dfrac{{3m + 3}}{2}\) và \({x_1}.{x_2} = 3m.\)
Các tiếp tuyến tại vuông góc
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow f'\left( {{x_1}} \right).f'\left( {{x_2}} \right) = - 1\\ \Leftrightarrow \left( {3x_1^2 - 6{x_1}} \right)\left( {3x_2^2 - 6{x_2}} \right) = - 1\\ \Leftrightarrow 9{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - 18{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 36{x_1}{x_2} = - 1\\ \Leftrightarrow 9{x_1}{x_2}\left[ {{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4} \right] = - 1\\ \Leftrightarrow 9.3m\left[ {3m - \left( {3m + 3} \right) + 4} \right] = - 1\\ \Leftrightarrow 27m\left( {3m - 3m - 3 + 4} \right) = - 1\\ \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{{27}}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}\)
Vậy không có điểm nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.
