Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:
+ Gọi \(M\left( {a;\dfrac{{2a}}{{a - 2}}} \right)\) với \(a
e 2\) là điểm thuộc đồ thị.
+ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M.
+ Tìm giao điểm của đường thẳng tiếp tuyến với các trục tọa độ.
+ Tính độ dài OA, AB và giải phương trình \(AB = OA\sqrt 2 .\)
Giải chi tiết:+ Gọi \(M\left( {a;\dfrac{{2a}}{{a - 2}}} \right)\) với \(a
e 2\) là điểm thuộc đồ thị.
Phương trình tiếp tuyến tại \(M\) có dạng:
\(\left( d \right):y = y'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + \dfrac{{2a}}{{a - 2}}\) \( \Leftrightarrow y = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + \dfrac{{2a}}{{a - 2}}\)
+ Cho \(y = 0 \Leftrightarrow 0 = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + \dfrac{{2a}}{{a - 2}}\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 4x + 4a + 2a\left( {a - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow  - 4x + 4a + 2{a^2} - 4a = 0\\ \Leftrightarrow 4x = 2{a^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{{a^2}}}{2}\end{array}\)
\( \Rightarrow \left( d \right) \cap Ox = A\left( {\dfrac{{{a^2}}}{2};0} \right)\)
+ Cho \(x = 0 \Leftrightarrow y = \dfrac{{4a}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}} + \dfrac{{2a}}{{a - 2}}\).
\( \Leftrightarrow y = \dfrac{{4a + 2a\left( {a - 2} \right)}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{2{a^2}}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}\)
\( \Rightarrow \left( d \right) \cap Oy = B\left( {0;\dfrac{{2{a^2}}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}} \right)\)
Do \(A
e B\) nên \(2{a^2}
e 0 \Leftrightarrow a
e 0\).
Theo gỉa thiết \( \Rightarrow AB = \sqrt 2 OA\) \( \Leftrightarrow A{B^2} = 2O{A^2}\) \( \Leftrightarrow O{A^2} + O{B^2} = 2O{A^2}\) \( \Leftrightarrow O{A^2} = O{B^2}\) \( \Leftrightarrow OA = OB\).
 \(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {\dfrac{{{a^2}}}{2}} \right| = \left| {\dfrac{{2{a^2}}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}} \right|\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{2{a^2}}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow {a^2}\left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{a^2} = 0\,\,\,\left( {Loai} \right)\\\dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 2 = 2\\a - 2 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 4\,\,\,\left( {tm} \right)\\a = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
+ Với \(a = 4\) suy ra phương trình tiếp tuyến \(y =  - \left( {x - 4} \right) + 4\)\( \Leftrightarrow y =  - x. + 8\)
Kết luận: Vậy có 1 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài là: \(y =  - x + 8\).