Đáp án:
Bạn tham khảo nhé!!!
Giải thích các bước giải:
a) Ta có: AB = 2AD
Lại có E, F lần lượt là trung điểm của AB và DC
\( \Rightarrow AE = EB = DF = FC = \frac{1}{2}AB = AB.\)
Xét tứ giác AEFD ta có:
AE // DF (ABCD là hình bình hành)
AE = DF (cmt)
=> AEFD là hình bình hành (dhnb).
Lại có: EA = AD (cmt)
=> AEFD là hình thoi.
b) Chứng minh tương tự ta chứng minh được tứ giác EBCF là hình thoi.
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}EC \bot BF\\NF = NB = \frac{1}{2}BF\end{array} \right.\) (tính chất hai đường chéo).
Xét tam giác ABF có: M, E lần lượt là trung điểm của AB và AF
=> ME là đường trung bình của tam giác ABF
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}ME//BF\\ME = \frac{1}{2}BF\end{array} \right.\) (tính chất đường trung bình).
Xét tứ giác MENF ta có:
ME // FN (cmt)
ME = NF (= 1/2 BF)
=> MENF là hình bình hành (dhnb).
Mà NE vuông góc với BF tại N => góc ENF = 90 độ
=> MENF là hình chữ nhật. (đpcm)
c) Ta có: AEFD là hình thoi (cm a))
=> EF // AD và EF = AD.
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
=> O là trung điểm của AC và BD. (tính chất đường chéo của hình bình hành).
Xét tam giác ABC có: E, O lần lần lượt là trung điểm của AB và AC
=> EO là đường trung bình của tam giác ABC
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}EO//BC\\EO = \frac{1}{2}BC\end{array} \right.\) (tính chất đường trung bình của tam giác).
Chứng minh tương tự ta được OF là đường trung bình của tam giác ACD.
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OF//AD\\OF = \frac{1}{2}AD\end{array} \right.\) (tính chất đường trung bình của tam giác).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OE//BC\\OF//BC\,\,\,\left( {//AD} \right)\\OE + OF = \frac{1}{2}BC + \frac{1}{2}AD = AD = EF\,\,\,\left( {BC = AD = EF} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OE \equiv OF\)
Hay O thuộc EF.
Vậy AC, BD, EF đồng quy tại O.
d) EMFN là hình vuông khi và chỉ khi ME = MF.
Vì AEFD là hình thoi (cm a))
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}ME = \frac{1}{2}DE\\MF = \frac{1}{2}AF\end{array} \right. \Rightarrow ME = MF \Leftrightarrow DE = AF \Leftrightarrow AEFD\) là hình vuông.
Hay AE vuông góc với AD
=> ABCD là hình chữ nhật.
